Calcule o determinante
D=\left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 2 & 2 & 3 & 2 \\\\ 0 & 2 & 4 & 4 \end{array}\right|

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular o determinante
D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 2 & 2 & 3 & 2 \\\\ 0 & 2 & 4 & 4 \end{vmatrix}
O conteúdo aqui é usar operações elementares de linha (que não alteram o valor do determinante) para levar a matriz a uma forma triangular e então usar que o determinante de matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Aplicamos \text{R3}\to \text{R3}-2\,\text{R1}. Subtrair um múltiplo de uma linha de outra não muda o determinante. A matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 2 & 4 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora fazemos \text{R4}\to \text{R4}-\text{R2}, o que também não altera D. A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 4

Em seguida, \text{R4}\to \text{R4}-\text{R3} leva a
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix},
uma matriz triangular superior.

Passo 5

Para matriz triangular superior,
D = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24.

Resposta

D = 24

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