Verifique quais dos subconjuntos W abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço V (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
V=P3 ; W=p in V ; p(0)=2 p(1);

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial real
V = P3
(polinômios de grau <=3) e o subconjunto
W = ,pin V mid p(0)=2,p(1)
Queremos verificar se W é subespaço de V (fechamento em soma, escalar e contém o zero) e, em caso afirmativo, determinar dim W.

Passo 2

Verificamos que o polinômio zero p(x)equiv0 pertence a W, pois
p(0)=0=2cdot0=2,p(1)
Logo, 0Vin W.

Passo 3

Fechamento em soma: sejam p,qin W. Então
p(0)=2,p(1), q(0)=2,q(1)
Logo
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=2l(p(1)+q(1)r)=2,(p+q)(1),
de modo que p+qin W.

Passo 4

Fechamento em escalar: seja alphainR e pin W. Então
(alpha p)(0)=alpha,p(0)=alphacdot2,p(1)=2,(alpha p)(1),
logo alpha pin W. Assim, W é subespaço de V.

Passo 5

Para achar dim W, escrevemos um polinômio geral
p(x)=a,x^3+b,x^2+c,x+d
A condição p(0)=d=2p(1)=2(a+b+c+d) resulta em
d=-2,(a+b+c)
Substituindo em p(x) obtemos
p(x)=a(x^3-2)+b(x^2-2)+c(x-2)
Os três polinômios x^3-2,;x^2-2,;x-2 formam base de W, portanto
dim W = 3

Resposta

W é subespaço de V e dim W = 3.

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