Verifique quais dos subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço
(considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
;
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial real
(polinômios de grau
) e o subconjunto
Queremos verificar se
é subespaço de
(fechamento em soma, escalar e contém o zero) e, em caso afirmativo, determinar
.
Passo 2
Verificamos que o polinômio zero
pertence a
, pois
Logo,
.
Passo 3
Fechamento em soma: sejam
. Então
Logo
de modo que
.
Passo 4
Fechamento em escalar: seja
e
. Então
logo
. Assim,
é subespaço de
.
Passo 5
Para achar
, escrevemos um polinômio geral
A condição
resulta em
Substituindo em
obtemos
Os três polinômios
formam base de
, portanto