Verifique quais dos subconjuntos W abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço V (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
V=P2 ; W=A in V ; p(x+1)=p(x);

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial real V=P2 (polinômios de grau até 2) com as operações usuais, e o subconjunto
W = ,pin V mid p(x+1)=p(x) para todo real x
Precisamos verificar se W é subespaço de V e, em caso afirmativo, determinar dim(W); caso contrário, exibir uma falha em alguma das propriedades de subespaço.

Passo 2

Seja
p(x)=a,x^2+b,x+c(a,b,cinR)
Calculamos
p(x+1)=a,(x+1)^2+b,(x+1)+c = a,x^2+(2a+b),x+(a+b+c)
A condição p(x+1)=p(x) para todo x força a igualdade coeficiente a coeficiente:
  1. Em x^2: a = a (sempre verdade),
  2. Em x: 2a+b = b implies 2a=0 implies a=0,
  3. Termo constante: a+b+c = c implies a+b=0. Como a=0, segue b=0.
Logo todo pin W tem a=0 e b=0, isto é,
W = ,p(x)=c mid cinR,
o espaço dos polinômios constantes.

Passo 3

O conjunto dos polinômios constantes contém o polinômio zero, é fechado sob soma e multiplicação escalar (soma e escala de constantes ainda é constante). Portanto W é subespaço de V. Como todo polinômio em W é da forma ccdot 1, uma base é 1 e
dim(W)=1

Resposta

W é subespaço de V e dim(W)=1.

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