Verifique quais dos subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço
(considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
;
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial real
(polinômios de grau até 2) com as operações usuais, e o subconjunto
Precisamos verificar se
é subespaço de
e, em caso afirmativo, determinar
; caso contrário, exibir uma falha em alguma das propriedades de subespaço.
Passo 2
Seja
Calculamos
A condição
para todo
força a igualdade coeficiente a coeficiente:
- Em
: (sempre verdade), - Em
: , - Termo constante:
. Como , segue .
Logo todo
tem
e
, isto é,
o espaço dos polinômios constantes.
Passo 3
O conjunto dos polinômios constantes contém o polinômio zero, é fechado sob soma e multiplicação escalar (soma e escala de constantes ainda é constante). Portanto
é subespaço de
. Como todo polinômio em
é da forma
, uma base é
e