Questão 7. Considere a seguinte equação diferencial linear de segunda ordem
x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0 .
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y^{\prime\prime}-4x y^{\prime}+6y=0
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes que o enunciado fornece:
É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que são potências de x.
O ponto x=0 é um ponto singular (porque os coeficientes envolvem x e x^{2}).
Precisamos encontrar a família de soluções gerais (dois parâmetros arbitrários), válida em intervalos que não contenham x=0.
Passo 2
Escolha do método: como os coeficientes diante de y^{\prime\prime},y^{\prime},y são respectivamente x^{2},x^{1},x^{0} (ou seja, potências de x), esta equação tem a forma da equação de Euler–Cauchy. A técnica padrão para esse tipo de equação é procurar soluções do tipo
y=x^{m},
onde m é um número (possivelmente complexo). Vou explicar por quê e como isso funciona: essa tentativa funciona porque derivadas de x^{m} são múltiplos de x^{m-1} e x^{m-2}, que ao serem multiplicadas por x ou x^{2} produzem termos na mesma potência x^{m}, permitindo reduzir a equação diferencial a uma equação algébrica para m.
Passo 3
Calcule as derivadas de y=x^{m}. Usando regras básicas de derivação:
y = x^{m},
y^{\prime} = m x^{m-1},
y^{\prime\prime} = m(m-1) x^{m-2}.
Aqui eu usei a regra do poder: se y=x^{m} então y' = m x^{m-1}; derivando de novo, multiplica-se por m-1.
Simplificando cada termo (observe que x^{2}\cdot x^{m-2}=x^{m} e x\cdot x^{m-1}=x^{m}):
\bigl[m(m-1)\bigr]x^{m} -4m x^{m} +6 x^{m} =0.
Como x^{m} não é identicamente zero (exceto trivialmente), podemos dividir por x^{m} (considerando x\neq 0) e obter a equação algébrica em m:
m(m-1)-4m+6=0.
Passo 5
Simplifique o polinômio em m:
m(m-1)-4m+6 = m^{2}-m-4m+6 = m^{2}-5m+6.
Portanto a equação característica é
m^{2}-5m+6=0.
Fatora-se ou resolve-se pela fórmula quadrática. Fatorando:
m^{2}-5m+6=(m-2)(m-3)=0.
Assim as raízes são
m_{1}=2,\qquad m_{2}=3.
Passo 6
Interpretação das raízes: como obtivemos duas raízes reais e distintas m_{1} e m_{2}, a teoria da equação de Euler–Cauchy diz que uma base de soluções é formada por x^{m_{1}} e x^{m_{2}}. Em outras palavras, a solução geral é uma combinação linear dessas duas potências. (Vou apresentar a expressão final compacta no campo “
Passo 7
Verificação de independência linear (importante para garantir que temos duas soluções fundamentais): calcule o Wronskiano de x^{2} e x^{3}. As derivadas são (x^{2})' = 2x e (x^{3})' = 3x^{2}. O Wronskiano é
Como W(x)=x^{4}\neq 0 para x\neq 0, as funções x^{2} e x^{3} são linearmente independentes em qualquer intervalo que não contenha 0. Portanto formam uma base de soluções no domínio adequado.
Passo 8
Observações didáticas rápidas (para você lembrar na prova):
Se as raízes tivessem sido iguais (raiz dupla m), a segunda solução seria do tipo x^{m}\ln x.
Se as raízes fossem complexas m=\alpha\pm i\beta, a solução geral viria em termos de x^{\alpha}\cos(\beta\ln x) e x^{\alpha}\sin(\beta\ln x).
Sempre verificar o Wronskiano para confirmar independência e lembrar que o método de y=x^{m} só é válido para equações Euler–Cauchy (coeficientes monômios em x).