Determine a solução geral do problema de valor inicial dado:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Vou resumir claramente o que cada item pede e quais dados foram fornecidos:
(a) Resolver o problema de valor inicial
(b) Resolver
(c) Resolver
(d) Resolver
(e) Resolver
(f) Resolver
(g) Resolver
Em cada caso a tarefa é: (1) achar a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes (solução complementar + particular), (2) aplicar as condições iniciais para obter a solução única. A seguir eu resolvo cada item passo a passo e explico a teoria usada quando aparecer.
Passo 2
Resolução do item (a).
- Equação homogênea associada:
Formamos a equação característica
- Resolva a quadrática:
então Assim a solução complementar é
Breve explicação didática: para uma EDO linear de ordem 2 com coeficientes constantes, tentamos
e obtemos a equação polinomial em
. As raízes dão as exponenciais da solução homogênea.
- Procurar uma solução particular para o termo fonte
. O lado direito é um polinômio de grau 1, então tentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau:
- Calcule derivadas:
Substitua na equação:
Agrupando coeficientes:
Igualando coeficientes:
E
Logo
- Solução geral:
- Aplicar condições iniciais. Em
:
Derivando:
então em
:
Resolvendo o sistema
e
obtemos
- Portanto a solução particular que satisfaz as C.I. é
Passo 3
Resolução do item (b).
- Equação homogênea:
A equação característica é
portanto raiz dupla
e
- O termo não-homogêneo é
, soma de duas partes. Para (constante), tentamos constante. Para usamos o método dos coeficientes indeterminados com atenção ao caso ressonante: o fator corresponde à raiz da característica, que tem multiplicidade . A regra prática: se corresponde a uma raiz de multiplicidade , multiplicamos o ansatz por . Aqui e , e o polinômio multiplicador tem grau , então tentamos
Explicação curta: multiplicamos por
por causa da raiz dupla.
- Em vez de derivar tudo na marra, usamos uma identidade útil: para
e o operador (porque ), tem-se
(Se quiser, isso pode ser verificado por diferenciação; é uma economia de cálculo muito prática.)
- Tomando
temos Queremos que , então
Igualando coeficientes:
e
-
Para o termo constante
, usamos . Substituindo em obtemos -
Assim a solução geral é
- Aplicar condições iniciais. Em
:
Derivando a solução (pode-se agrupar
em fator comum):
Em
:
Com
obtém-se
- Solução final:
Passo 4
Resolução do item (c).
- Homogênea:
. Equação característica
portanto
e
- Termo forçante
: como não é raiz da característica, podemos tentar
- Calculemos de forma direta (ou use a fórmula
). Procedendo:
Substituindo em
e agrupando termos resulta
Igualando coeficientes:
e
- Logo
e a solução geral é
- Condições iniciais: em
:
Derivando:
(o termo
vem do cálculo direto de derivada de
). Em
:
-
Resolver o sistema
e . Somando: Então -
Solução final:
Passo 5
Resolução do item (d).
- Homogênea:
Assim
- Para o termo polinomial
tentamos Calculando e substituindo em dá
Queremos isto igual a
. Igualando coeficientes:
- Para
tentamos . Substituindo:
- Solução geral:
- Condições iniciais: em
:
Derivando:
Em
:
- Solução final:
Passo 6
Resolução do item (e).
- Homogênea:
. A equação característica é
Logo a solução complementar é
- O termo forçante é
. Observação importante (ressonância): é exatamente parte da base de soluções homogêneas (vimos e na solução homogênea). Isso significa que o ansatz usual falha (vai ser solução homogênea). A regra: multiplicar por para obter um ansatz adequado. Assim tentamos
- Para facilitar os cálculos observe a identidade útil: se escrevemos
com , então
(Isto vem de diferenciar e agrupar; é um truque que reduz muito o trabalho quando aparece
com coeficientes complexos.)
- Calcule
. Fazendo as derivadas e simplificando (cálculo mostrado resumidamente), obtemos
- Queremos
. Assim
Igualando coeficientes:
e
- Portanto
e
- Solução geral:
- Aplicar condições iniciais. Em
:
Para
é conveniente usar
com
. Então
. Avaliando em
:
(derivando e usando
). Assim
- Solução final:
Passo 7
Resolução do item (f).
- Homogênea:
. Assim
-
Termo forçante
(polinômio grau 1) sugere tentar Como não há ressonância com (a solução homogênea não contém polinômiais puros), esse ansatz é adequado. Derivadas: -
Substituindo:
Igualando coeficientes:
Logo
- Solução geral:
- Condições iniciais:
Derivando:
Em
:
Com
segue
- Solução final:
Passo 8
Resolução do item (g).
-
Homogênea:
-
Para termo constante
tentamos com -
Solução geral:
- Aplicar condições no ponto
. Note que tem
As condições dão:
Das duas equações:
Somando:
Então
- Solução final:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)