Questão 9. Sejam y_{1}, y_{2} soluções da EDO y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0. Vimos em sala de aula que o Wronskiano é dado pela fórmlua
W\left[y_{1}, y_{2}\right](x)=C e^{-\int p(x) d x}
para alguma constante C, conhecida como fórmula de Abel. Não devemos concluir que o Wronskiano é independente do par de soluções. A constante C varia de acordo com as soluções consideradas. Para cada par de soluções temos uma constante particular. Por exemplo, use a fórmula de Abel para obter uma expressão para o Wronskiano de um par de soluções da equação
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}+1\right) y=0

Passo 1

O enunciado pede que eu use a fórmula de Abel para obter uma expressão para o Wronskiano de um par de soluções da equação
x^{2}y^{\prime\prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}+1\right)y=0.
Informações relevantes dadas:
  • y_{1} e y_{2} são duas soluções quaisquer da equação acima.
  • A fórmula de Abel já conhecida é
W[y_{1},y_{2}](x)=C e^{-\int p(x)\,dx}
para alguma constante C que depende do par (y_{1},y_{2}).
  • Preciso identificar p(x) a partir da equação dada e aplicar a fórmula de Abel para obter W[y_{1},y_{2}](x).

Passo 2

Primeiro coloco a equação na forma padrão y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0 dividindo tudo por x^{2} (assumindo x\neq 0 para poder dividir):
y^{\prime\prime}+\frac{x}{x^{2}}y^{\prime}+\frac{x^{2}+1}{x^{2}}y=0.
Agora identifico os coeficientes:
p(x)=\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x},\qquad q(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}}=1+\frac{1}{x^{2}}.
Aqui eu só preciso de p(x) para a fórmula de Abel, então guardei p(x)=\dfrac{1}{x}.

Passo 3

Vou recordar e explicar a fórmula de Abel de maneira direta e intuitiva.
  • O Wronskiano de duas funções y_{1},y_{2} é definido por
W[y_{1},y_{2}](x)=y_{1}(x)y_{2}^\prime(x)-y_{2}(x)y_{1}^\prime(x).
  • A fórmula de Abel diz que, para a equação linear de segunda ordem na forma padrão, o Wronskiano satisfaz
W[y_{1},y_{2}](x)=C e^{-\int p(x)\,dx},
onde C é uma constante que depende das soluções escolhidas (ou seja, não universal para todas as soluções, mas fixa para o par considerado). A ideia é que a dependência em x do Wronskiano é totalmente determinada por p(x).

Passo 4

Aplico a fórmula de Abel com o p(x) que encontrei. Calculo a integral necessária:
\int p(x)\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x| + \text{constante}.
Na fórmula de Abel podemos tomar uma antiderivada \ln|x| (a constante aditiva pode ser absorvida na constante multiplicativa C), então:
e^{-\int p(x)\,dx}=e^{-\ln|x|}=|x|^{-1}.
Aqui usei a propriedade e^{-\ln|x|}=(e^{\ln|x|})^{-1}=|x|^{-1}.

Passo 5

Substituindo na fórmula de Abel obtenho
W[y_{1},y_{2}](x)=C\,|x|^{-1}=\frac{C}{|x|},
onde C é a constante associada ao par de soluções (y_{1},y_{2}).

Passo 6

Comentário importante sobre domínio (didático e útil para prova):
  • A expressão acima foi obtida assumindo x\neq 0, porque dividimos por x^{2} no início; além disso p(x)=1/x não é contínua em x=0, então a fórmula de Abel vale separadamente em cada intervalo em que p é contínua — isto é, em (0,\infty) e em (-\infty,0).
  • Em um desses intervalos a função |x| tem sinal fixo: para x>0 temos |x|=x e para x<0 temos |x|=-x. Como C é arbitária (pode ser positiva ou negativa), podemos reescrever a fórmula de forma mais prática em cada intervalo como
W[y_{1},y_{2}](x)=\frac{C_{\text{intervalo}}}{x},
onde C_{\text{intervalo}} é uma constante (possivelmente diferente entre (0,\infty) e (-\infty,0)).

Resposta

W[y_{1},y_{2}](x)=\frac{C}{|x|}
\text{(equivalentemente, em qualquer intervalo que não contenha }0\text{, }W[y_{1},y_{2}](x)=\frac{C}{x}\text{).}ã

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