Questão 9. Sejam
soluções da EDO
. Vimos em sala de aula que o Wronskiano é dado pela fórmlua
para alguma constante
, conhecida como fórmula de Abel. Não devemos concluir que o Wronskiano é independente do par de soluções. A constante
varia de acordo com as soluções consideradas. Para cada par de soluções temos uma constante particular. Por exemplo, use a fórmula de Abel para obter uma expressão para o Wronskiano de um par de soluções da equação
Passo 1
O enunciado pede que eu use a fórmula de Abel para obter uma expressão para o Wronskiano de um par de soluções da equação
Informações relevantes dadas:
-
e são duas soluções quaisquer da equação acima. - A fórmula de Abel já conhecida é
para alguma constante
que depende do par
.
- Preciso identificar
a partir da equação dada e aplicar a fórmula de Abel para obter .
Passo 2
Primeiro coloco a equação na forma padrão
dividindo tudo por
(assumindo
para poder dividir):
Agora identifico os coeficientes:
Aqui eu só preciso de
para a fórmula de Abel, então guardei
.
Passo 3
Vou recordar e explicar a fórmula de Abel de maneira direta e intuitiva.
- O Wronskiano de duas funções
é definido por
- A fórmula de Abel diz que, para a equação linear de segunda ordem na forma padrão, o Wronskiano satisfaz
onde
é uma constante que depende das soluções escolhidas (ou seja, não universal para todas as soluções, mas fixa para o par considerado). A ideia é que a dependência em
do Wronskiano é totalmente determinada por
.
Passo 4
Aplico a fórmula de Abel com o
que encontrei. Calculo a integral necessária:
Na fórmula de Abel podemos tomar uma antiderivada
(a constante aditiva pode ser absorvida na constante multiplicativa
), então:
Aqui usei a propriedade
.
Passo 5
Substituindo na fórmula de Abel obtenho
onde
é a constante associada ao par de soluções
.
Passo 6
Comentário importante sobre domínio (didático e útil para prova):
- A expressão acima foi obtida assumindo
, porque dividimos por no início; além disso não é contínua em , então a fórmula de Abel vale separadamente em cada intervalo em que é contínua — isto é, em e em . - Em um desses intervalos a função
tem sinal fixo: para temos e para temos . Como é arbitária (pode ser positiva ou negativa), podemos reescrever a fórmula de forma mais prática em cada intervalo como
onde
é uma constante (possivelmente diferente entre
e
).