Questão 6.
O Wronskiano de duas funções y_{1}, y_{2} é W\left(y_{1}, y_{2}\right)(x)=x^{2}-4. As funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Por quê?
Passo 1
O enunciado dá o Wronskiano das duas funções y_{1},y_{2}:
W\left(y_{1},y_{2}\right)(x)=x^{2}-4.
A pergunta é: as funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Pede-se determinar a independência linear e justificar o porquê usando a informação do Wronskiano.
Passo 2
Vamos recordar o que significa ser linearmente dependente ou independente. Duas funções y_{1},y_{2} são linearmente dependentes num intervalo I se existe uma combinação linear não trivial
c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)\equiv 0\quad\text{para todo }x\in I,
com c_{1},c_{2} constantes e (c_{1},c_{2})\neq(0,0). Caso contrário (se a única combinação que dá zero for c_{1}=c_{2}=0), dizemos que são linearmente independentes em I.
Passo 3
Definição do Wronskiano: para duas funções diferenciáveis,
Uma propriedade importante: se y_{1},y_{2} são diferenciáveis num intervalo I e são linearmente dependentes em I, então W(y_{1},y_{2})(x)=0 para todo x\in I. A contrapartida prática que usamos com frequência é: se existe algum ponto x_{0}\in I tal que W(y_{1},y_{2})(x_{0})\neq 0, então y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em I.
(Obs.: quando y_{1},y_{2} são soluções de uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes contínuos, temos o resultado mais forte de Abel: o Wronskiano é ou identicamente zero em I ou nunca zero em I.)]
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso: o Wronskiano fornecido é
W(x)=x^{2}-4.
Vamos analisar onde ele é zero e onde não é. Resolver x^{2}-4=0 dá x=\pm 2. Portanto W(x)=0 somente em x=2 e x=-2. Para qualquer outro x temos W(x)\neq 0.
Passo 5
Como o Wronskiano não é identicamente zero (exemplificando, em x=0 temos W(0)=0^{2}-4=-4\neq 0), concluímos, pelo teorema citado no Passo 3, que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em qualquer intervalo que contenha x=0 e que não inclua os pontos x=\pm2. Mais geralmente, são linearmente independentes em cada um dos intervalos onde W(x)\neq 0: (-\infty,-2), (-2,2) e (2,\infty).
Comentário sobre os pontos onde W se anula: em x=\pm2 o Wronskiano é zero, mas isso não implica automaticamente que as funções sejam linearmente dependentes em algum intervalo que contenha esses pontos — pode haver independência em vizinhanças que evitem os pontos zero do Wronskiano. O que importa para a conclusão de independência é a existência de um ponto onde W\neq0 (ou trabalhar em um intervalo onde W nunca se anula).
Resposta
As funções são linearmente independentes em qualquer intervalo onde W(x)\neq 0, por exemplo em (-2,2) (pois W(0)=-4\neq0).