e pede:
a) o gráfico de f,
b) \lim_{x\to0^-}f(x),
c) \lim_{x\to0^+}f(x).
Vamos primeiro desenhar cada ramo e depois calcular os limites laterais.]
Passo 2
Para x\le0 temos f(x)=x.
Isto é a reta de coeficiente angular 1 passando pela origem, restrita ao semieixo x\le0. Em particular, no ponto x=0 temos
f(0)=0,
de modo que marcamos um ponto cheio em (0,0) e estendemos a reta para a esquerda até x\to-\infty.
Passo 3
Para x>0 temos f(x)=\tfrac1x.
Esse é o ramo da hipérbole que fica no primeiro quadrante. Ele tem assíntota vertical em x=0 e assíntota horizontal em y=0. À medida que x\to0^+, f(x)=1/x\to+\infty; e à medida que x\to+\infty, f(x)\to0^+. Desenhamos portanto o ramo no quadrante superior direito, sem incluir nenhum ponto em x=0 (círculo aberto na assíntota).
Passo 4
Agora calculamos o limite à esquerda em 0. Para x<0 vale f(x)=x. Logo
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}x =0.
Passo 5
O limite à direita em 0 usa f(x)=1/x para x>0. Como a hipérbole cresce sem limite quando x se aproxima de zero pela direita,
a) O gráfico de f é a união da reta y=x para x\le0 (incluindo o ponto (0,0)) com o ramo da hipérbole y=1/x para x>0 (círculo aberto na assíntota vertical x=0).
b) \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=0.
c) \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty (não existe limite finito).