Questão 3. Considere a seguinte função:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x}, \text { se } x>0, \\\ x, \text { se } x \leq 0 . \end{array}\right.
a) Construa o gráfico de f(x)
b) Encontre, se existir \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)
c) Encontre, se existir \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x>0,\\[6pt] x, & x\le0 \end{cases}
e pede:
a) o gráfico de f,
b) \lim_{x\to0^-}f(x),
c) \lim_{x\to0^+}f(x).
Vamos primeiro desenhar cada ramo e depois calcular os limites laterais.]

Passo 2

Para x\le0 temos f(x)=x.
Isto é a reta de coeficiente angular 1 passando pela origem, restrita ao semieixo x\le0. Em particular, no ponto x=0 temos
f(0)=0,
de modo que marcamos um ponto cheio em (0,0) e estendemos a reta para a esquerda até x\to-\infty.

Passo 3

Para x>0 temos f(x)=\tfrac1x.
Esse é o ramo da hipérbole que fica no primeiro quadrante. Ele tem assíntota vertical em x=0 e assíntota horizontal em y=0. À medida que x\to0^+, f(x)=1/x\to+\infty; e à medida que x\to+\infty, f(x)\to0^+. Desenhamos portanto o ramo no quadrante superior direito, sem incluir nenhum ponto em x=0 (círculo aberto na assíntota).

Passo 4

Agora calculamos o limite à esquerda em 0. Para x<0 vale f(x)=x. Logo
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}x =0.

Passo 5

O limite à direita em 0 usa f(x)=1/x para x>0. Como a hipérbole cresce sem limite quando x se aproxima de zero pela direita,
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}\frac1x =+\infty,
ou seja, não existe limite finito.

Resposta

a) O gráfico de f é a união da reta y=x para x\le0 (incluindo o ponto (0,0)) com o ramo da hipérbole y=1/x para x>0 (círculo aberto na assíntota vertical x=0).
b) \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=0.
c) \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty (não existe limite finito).

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