Questão 2. Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteira (equaçảo da onda):
Se
phi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^4 в psi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^3, в
podemos afirmar que a soluçảo u(x, t) do problema é igual a
sumn=1^infty 1n^4|cos (n t)+sen(n t)| sen(n x)
Passo 1
O problema é a equação da onda com condições de contorno de Dirichlet em x=0 e x=π e condições iniciais dadas por séries de Fourier: φ(x)=∑_{n=1}^∞ sen(nx)/n^4 e ψ(x)=∑_{n=1}^∞ sen(nx)/n^3. Vamos usar o método de separação de variáveis e a solução em série.
Passo 2
Para o problema de valor inicial da onda com contorno homogêneo, a solução geral está dada por u(x,t)=∑_{n=1}^∞ [A_n cos(n t)+ (B_n/n) sen(n t)] sen(n x), onde A_n e B_n são os coeficientes de Fourier de φ e ψ, respectivamente.
Passo 3
Como φ(x)=∑_{n=1}^∞ A_n sen(n x) e ψ(x)=∑_{n=1}^∞ B_n sen(n x), identificamos imediatamente A_n=1/n^4 e B_n=1/n^3.