Questão 2. Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteira (equaçảo da onda):
ll ut t-ux x=0 & para x in(0, pi), t>0 u(0, t)=u(pi, t)=0 & para t >= 0 u(x, 0)=phi(x) & para x in(0, pi) ut(x, 0)=psi(x) & para x in(0, pi)
Se
phi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^4 в psi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^3, в
podemos afirmar que a soluçảo u(x, t) do problema é igual a
sumn=1^infty 1n^4|cos (n t)+sen(n t)| sen(n x)

Passo 1

O problema é a equação da onda com condições de contorno de Dirichlet em x=0 e x=π e condições iniciais dadas por séries de Fourier: φ(x)=∑_{n=1}^∞ sen(nx)/n^4 e ψ(x)=∑_{n=1}^∞ sen(nx)/n^3. Vamos usar o método de separação de variáveis e a solução em série.

Passo 2

Para o problema de valor inicial da onda com contorno homogêneo, a solução geral está dada por u(x,t)=∑_{n=1}^∞ [A_n cos(n t)+ (B_n/n) sen(n t)] sen(n x), onde A_n e B_n são os coeficientes de Fourier de φ e ψ, respectivamente.

Passo 3

Como φ(x)=∑_{n=1}^∞ A_n sen(n x) e ψ(x)=∑_{n=1}^∞ B_n sen(n x), identificamos imediatamente A_n=1/n^4 e B_n=1/n^3.

Passo 4

Substituindo A_n e B_n na solução geral obtemos
u(x,t)=sumn=1^inftyl(1n^4cos(nt)+1n^4sin(nt)r)sin(nx)

Resposta

u(x,t)=sumn=1^infty1n^4l[cos(nt)+sin(nt)r],sin(nx)

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