Questão 2. Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteira (equaçảo da onda):
ll ut t-ux x=0 & para x in(0, pi), t>0 u(0, t)=u(pi, t)=0 & para t >= 0 u(x, 0)=phi(x) & para x in(0, pi) ut(x, 0)=psi(x) & para x in(0, pi)
Se
phi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^4 в psi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^3, в
podemos afirmar que a soluçảo u(x, t) do problema é igual a
sumn=1^infty 1n^4[cos (n t)+sen(n t)] cos (n x)

Passo 1

O enunciado apresenta a equação da onda em 0<x<π com condições de contorno u(0,t)=u(π,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=φ(x), u_t(x,0)=ψ(x). As séries de Fourier de φ e ψ são dadas em sen(n x), logo vamos usar separação de variáveis e decompor u(x,t)=∑T_n(t) sin(n x).

Passo 2

Ao separar variáveis, chegamos à ODE modal T_n’’(t)+n² T_n(t)=0, cuja solução geral é T_n(t)=A_n cos(n t)+B_n sin(n t). Pelo método de Fourier, temos u(x,0)=∑A_n sin(n x)=φ(x)=∑(1/n⁴) sin(n x), logo A_n=1/n⁴.
Para a condição u_t(x,0)=∑n B_n sin(n x)=ψ(x)=∑(1/n³) sin(n x), igualamos n B_n=1/n³, portanto B_n=1/n⁴.

Passo 3

Assim a solução geral fica u(x,t)=∑_{n=1}^∞[A_n cos(n t)+B_n sin(n t)] sin(n x)=∑_{n=1}∞\frac{1}{n4}[\cos(n t)+\sin(n t)],\sin(n x).
Comparando com a expressão proposta no enunciado vemos que ela troca sin(n x) por cos(n x), o que está incorreto, pois os modos devem satisfazer as condições de contorno nulas em x=0 e x=π.

Resposta

A expressão correta é
u(x,t)=sumn=1^infty1n^4l[cos(n t)+sin(n t)r],sin(n x)
e a afirmação com cos(n x) em vez de sin(n x) está equivocada.

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