Questão 2. Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteira (equaçảo da onda):
ll ut t-ux x=0 & para x in(0, pi), t>0 u(0, t)=u(pi, t)=0 & para t >= 0 u(x, 0)=phi(x) & para x in(0, pi) ut(x, 0)=psi(x) & para x in(0, pi)
Se
phi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^4 в psi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^3, в
podemos afirmar que a soluçảo u(x, t) do problema é igual a
sumn=1^infty 1n^3[1n cos (n t)+sen(n t)] sen(n x)

Passo 1

O problema é a equação da onda utt-uxx=0 para xin(0,pi), t>0 com condições de contorno de Dirichlet u(0,t)=u(pi,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=phi(x), ut(x,0)=psi(x). Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis e expandir u, phi e psi em séries de Fourier do tipo seno.

Passo 2

A forma geral da solução compatível com as condições de contorno é
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(nt)+Bnsin(nt)r)sin(nx)

Passo 3

As condições iniciais impõem
u(x,0)=sumn=1^inftyAnsin(nx)=phi(x)=sumn=1^infty1n^4sin(nx)
e
ut(x,0)=sumn=1^inftynBnsin(nx)=psi(x)=sumn=1^infty1n^3sin(nx)

Passo 4

Dessas igualdades de séries vemos que os coeficientes são
An=1n^4,
e
nBn=1n^3Longrightarrow Bn=1n^4

Passo 5

Substituindo An e Bn na forma geral, obtemos a solução final:
u(x,t)=sumn=1^infty1n^4l(cos(nt)+sin(nt)r)sin(nx)

Resposta

u(x,t)=sumn=1^infty1n^4l(cos(nt)+sin(nt)r)sin(nx).

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