Questão 2. Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteira (equaçảo da onda):
Se
phi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^4 в psi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^3, в
podemos afirmar que a soluçảo u(x, t) do problema é igual a
sumn=1^infty 1n^3[1n^2 cos (n t)+sen(n t)] sen(n x)
Passo 1
No primeiro passo, resumimos o enunciado: temos a equação da onda em uma barra de comprimento π, com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(π,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=φ(x), u_t(x,0)=ψ(x), sendo φ e ψ dadas por séries de senos. O conteúdo é separação de variáveis e séries de Fourier em seno.
Passo 2
Para resolver, fazemos a separação de variáveis e obtemos a forma geral da solução como série de autovetores do problema de Sturm–Liouville. Nesse caso, os autovalores são λ_n=n² e os autovetores sin(nx), e a frequência angular ω_n=√λ_n=n. A solução genérica é