Questão 2. Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteira (equaçảo da onda):
ll ut t-ux x=0 & para x in(0, pi), t>0 u(0, t)=u(pi, t)=0 & para t >= 0 u(x, 0)=phi(x) & para x in(0, pi) ut(x, 0)=psi(x) & para x in(0, pi)
Se
phi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^4 в psi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^3, в
podemos afirmar que a soluçảo u(x, t) do problema é igual a
sumn=1^infty 1n^3[1n^2 cos (n t)+sen(n t)] sen(n x)

Passo 1

No primeiro passo, resumimos o enunciado: temos a equação da onda em uma barra de comprimento π, com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(π,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=φ(x), u_t(x,0)=ψ(x), sendo φ e ψ dadas por séries de senos. O conteúdo é separação de variáveis e séries de Fourier em seno.

Passo 2

Para resolver, fazemos a separação de variáveis e obtemos a forma geral da solução como série de autovetores do problema de Sturm–Liouville. Nesse caso, os autovalores são λ_n=n² e os autovetores sin(nx), e a frequência angular ω_n=√λ_n=n. A solução genérica é
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(nt)+Bnsin(nt)r),sin(nx)

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais. De u(x,0)=φ(x)=∑φ_n
sin(nx) segue que
u(x,0)=sumn=1^inftyAn,sin(nx)=sumn=1^inftyphin,sin(nx)implies An=phin

Passo 4

E de u_t(x,t)=∑(−A_n
n
sin(nt)+B_n
n
cos(nt))
sin(nx) e u_t(x,0)=ψ(x)=∑ψ_n
sin(nx) obtemos
Bn,n=psinimplies Bn=psinn

Passo 5

Finalmente, basta inserir os coeficientes dados. Como
phin=1n^4,psin=1n^3,
temos
An=1n^4, Bn=1n^3,1n=1n^4

Passo 6

Portanto a solução fica
u(x,t)=sumn=1^infty(1n^4cos(nt)+1n^4sin(nt))sin(nx)

Resposta

u(x,t)=sumn=1^infty1n^4l(cos(nt)+sin(nt)r),sin(nx)

Exercícios relacionados