Questão 1. Considere o seguinte PVI
Encontre a solução do PVI. Qual das seguintes alternativas representa a solução do PVI,
, calculada em
?
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
com
e
. É uma EDO linear de 2ª ordem sem termo em
, então vamos achar a solução homogênea, uma particular e impor as condições iniciais.
Passo 2
A equação homogênea associada é
. Escrevendo
obtemos o polinômio característico
com raízes
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
do lado direito
, usamos coeficientes indeterminados. Como
é raiz da homogênea, para a parte constante tentamos
, e para
tentamos
. Logo
Derivando e substituindo em
obtemos
Igualando termos:
Passo 4
A solução geral é
Para
temos
para a derivada
logo
.
Passo 5
Substituindo
e
, obtemos
Finalmente, para
: