Questão 1. Considere o seguinte PVI
l 4 y^prime prime-16 y^prime=2-3 e^-4 t y(0)=14, y^prime(0)=12732
Encontre a solução do PVI. Qual das seguintes alternativas representa a solução do PVI, y(t), calculada em t=1?
(e) y(1)=127128 e^4-3128 e^-4-111128

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI 4y''-16y'=2-3e^-4t com y(0)=1/4 e y'(0)=127/32. É uma EDO linear de 2ª ordem sem termo em y, então vamos achar a solução homogênea, uma particular e impor as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é 4y''-16y'=0. Escrevendo y=e^rt obtemos o polinômio característico
r(4r-16)=0
com raízes r=0 e r=4. Logo a solução homogênea é
yh(t)=C1+C2e^4t

Passo 3

Para achar uma solução particular yp do lado direito 2-3e^-4t, usamos coeficientes indeterminados. Como r=0 é raiz da homogênea, para a parte constante tentamos At, e para e^-4t tentamos Be^-4t. Logo
yp(t)=At+Be^-4t
Derivando e substituindo em 4y''-16y'=2-3e^-4t obtemos
-16A+128B e^-4t=2-3e^-4t
Igualando termos:
-16A=2, A=-tfrac18,
128B=-3, B=-tfrac3128

Passo 4

A solução geral é
y(t)=C1+C2e^4t-tfrac18t-tfrac3128e^-4t
Para t=0 temos
y(0)=C1+C2-tfrac3128=tfrac14 Rightarrow C1+C2=tfrac35128,
para a derivada
y'(t)=4C2e^4t-tfrac18+tfrac12128e^-4t,
y'(0)=4C2-tfrac132=tfrac12732 Rightarrow C2=1,
logo C1=35/128-1=-93/128.

Passo 5

Substituindo C1 e C2, obtemos
y(t)=-tfrac93128+e^4t-tfrac18t-tfrac3128e^-4t
Finalmente, para t=1:
y(1)=e^4-tfrac3128e^-4-l(tfrac93128+tfrac16128r) =e^4-tfrac3128e^-4-tfrac109128

Resposta

y(1)=e^4-tfrac3128e^-4-tfrac109128

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