Questão 2. Considere a seguinte série infinita:
sumn=1^infty 1n(n+1)
a) Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais.
b) Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre séries infinitas! A gente tem uma série sumn=1^infty 1n(n+1). Vamos precisar saber como calcular somas parciais e entender um pouco sobre convergência de séries. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os oito primeiros termos das somas parciais dessa série. A soma parcial é a soma dos termos até um certo número n. Então, vamos calcular cada termo 1n(n+1) para n de 1 a 8 e ir somando.

Passo 3

Vamos calcular termo por termo:
  • Para n=1: 11(1+1) = 12 = 0,5000
  • Para n=2: 12(2+1) = 16 approx 0,1667
  • Para n=3: 13(3+1) = 112 approx 0,0833
  • Para n=4: 14(4+1) = 120 = 0,0500
  • Para n=5: 15(5+1) = 130 approx 0,0333
  • Para n=6: 16(6+1) = 142 approx 0,0238
  • Para n=7: 17(7+1) = 156 approx 0,0179
  • Para n=8: 18(8+1) = 172 approx 0,0139

Passo 4

Agora, vamos somar esses termos para obter as somas parciais:
  • Soma parcial S1 = 0,5000
  • Soma parcial S2 = 0,5000 + 0,1667 = 0,6667
  • Soma parcial S3 = 0,6667 + 0,0833 = 0,7500
  • Soma parcial S4 = 0,7500 + 0,0500 = 0,8000
  • Soma parcial S5 = 0,8000 + 0,0333 = 0,8333
  • Soma parcial S6 = 0,8333 + 0,0238 approx 0,8571
  • Soma parcial S7 = 0,8571 + 0,0179 approx 0,8750
  • Soma parcial S8 = 0,8750 + 0,0139 approx 0,8889

Passo 5

Pronto! Agora, vamos para a parte b) da questão. Precisamos encontrar uma fórmula geral para a soma parcial Sn e verificar se a série converge ou diverge.

Passo 6

Observando o termo geral 1n(n+1), podemos simplificar usando frações parciais:
1n(n+1) = 1n - 1n+1

Passo 7

Assim, a soma parcial Sn fica:
Sn = sumk=1^n ( 1k - 1k+1 )
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelando.

Passo 8

Vamos expandir a soma para ver o cancelamento:
Sn = (1 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14) + dots + (1n - 1n+1)
A maioria dos termos se cancela, restando:
Sn = 1 - 1n+1

Passo 9

Para determinar a convergência da série, vamos calcular o limite de Sn quando n tende ao infinito:
limn to infty Sn = limn to infty (1 - 1n+1) = 1 - 0 = 1
Como o limite existe e é finito, a série converge e a soma é 1.

Resposta

a) As oito primeiras somas parciais são:
S1 = 0,5000
S2 = 0,6667
S3 = 0,7500
S4 = 0,8000
S5 = 0,8333
S6 approx 0,8571
S7 approx 0,8750
S8 approx 0,8889
b) A fórmula da n-ésima soma parcial é Sn = 1 - 1n+1. A série converge e a sua soma é 1.

Exercícios relacionados