Questão 2. Considere a seguinte série infinita:
a) Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais.
b) Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma.
b) Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre séries infinitas! A gente tem uma série
. Vamos precisar saber como calcular somas parciais e entender um pouco sobre convergência de séries. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os oito primeiros termos das somas parciais dessa série. A soma parcial é a soma dos termos até um certo número
. Então, vamos calcular cada termo
para
de 1 a 8 e ir somando.
Passo 3
Vamos calcular termo por termo:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 4
Agora, vamos somar esses termos para obter as somas parciais:
- Soma parcial
- Soma parcial
- Soma parcial
- Soma parcial
- Soma parcial
- Soma parcial
- Soma parcial
- Soma parcial
Passo 5
Pronto! Agora, vamos para a parte b) da questão. Precisamos encontrar uma fórmula geral para a soma parcial
e verificar se a série converge ou diverge.
Passo 6
Observando o termo geral
, podemos simplificar usando frações parciais:
Passo 7
Assim, a soma parcial
fica:
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelando.
Passo 8
Vamos expandir a soma para ver o cancelamento:
A maioria dos termos se cancela, restando:
Passo 9
Para determinar a convergência da série, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge e a soma é 1.
Resposta
a) As oito primeiras somas parciais são:
b) A fórmula da n-ésima soma parcial é
. A série converge e a sua soma é 1.