Questão 1. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=n pi cos (n pi)

Passo 1

Beleza, então a questão pede para a gente determinar se a sequência $ a_{n} = n \pi \cos(n \pi) $ converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Vamos precisar entender sobre limites de sequências e o comportamento das funções trigonométricas, especialmente o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte que envolve o cosseno: $ \cos(n \pi) $. Sabemos que o cosseno de múltiplos de $ \pi $ tem valores que alternam entre 1 e -1. Ou seja, $ \cos(n \pi) = (-1)^n $. Isso acontece porque:
  • Para $ n $ par: $ \cos(n \pi) = 1 $
  • Para $ n $ ímpar: $ \cos(n \pi) = -1 $

Passo 3

Substituindo isso na expressão original da sequência, temos:
an = n pi cos(n pi) = n pi (-1)^n
Então, a sequência fica:
an = n pi (-1)^n

Passo 4

Agora, vamos observar o comportamento da sequência $ a_{n} = n \pi (-1)^n $. O fator $ (-1)^n $ faz com que os termos da sequência alternem em sinal:
  • Para $ n $ par: $ a_{n} = n \pi $ (positivo)
  • Para $ n $ ímpar: $ a_{n} = -n \pi $ (negativo)
Além disso, o valor de $ n \pi $ cresce sem limite conforme $ n $ aumenta.

Passo 5

Então, temos uma sequência que oscila entre valores positivos e negativos que vão aumentando em módulo à medida que $ n $ cresce. Ou seja, a sequência não está se aproximando de nenhum valor específico, mas sim indo para $ +\infty $ e $ -\infty $ alternadamente.

Resposta

A sequência $ a_{n} = n \pi \cos(n \pi) $ diverge, pois não se aproxima de nenhum valor específico e seus termos crescem sem limite alternando entre positivos e negativos.

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