Questão 1. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar se a sequência an=(n+7n)^n converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai encontrar o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e um pouco de exponenciais. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da potência para facilitar o entendimento. Observa que:
n+7n = 1 + 7n
Então, a sequência fica:
an = (1 + 7n)^n

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma fórmula importante dos limites:
limn to infty (1 + cn)^n = e^c
Onde e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828, e c é uma constante.

Passo 4

Comparando com a nossa sequência, vemos que c = 7. Então, aplicando a fórmula:
limn to infty an = limn to infty (1 + 7n)^n = e^7

Resposta

A sequência converge, e o limite é e^7.

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