(2,0) Questão 4. Considere os pontos A=(1,1,1), B=(1,-1,2) e C=(2,1,-1).
a) Determine o ângulo A \widehat{B} C.
b) Determine a área do triângulo A B C.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(1,1,1), B=(1,-1,2) e C=(2,1,-1) e pede:
a) o ângulo A\widehat{B}C;
b) a área do triângulo ABC.
Para isso vamos usar operação com vetores: subtração para obter vetores nos vértices, produto escalar para o ângulo e produto vetorial para a área.

Passo 2

Calcular os vetores a partir de B:
\overrightarrow{BA}=A - B = (1-1,\;1-(-1),\;1-2) = (0,2,-1),
\overrightarrow{BC}=C - B = (2-1,\;1-(-1),\;-1-2) = (1,2,-3).

Passo 3

Determinar o ângulo usando produto escalar. Primeiro o produto escalar e as normas:
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} =0\cdot1 + 2\cdot2 + (-1)\cdot(-3) =4 + 3 =7,
\|\overrightarrow{BA}\| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}, \quad \|\overrightarrow{BC}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}.
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\cos\theta = \frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BA}\|\;\|\overrightarrow{BC}\|} = \frac{7}{\sqrt{5}\,\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{70}}.
Portanto
\theta = A\widehat{B}C = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{7}{\sqrt{70}}\bigr) \approx 33{,}6^\circ.

Passo 4

Calcular a área do triângulo via módulo do produto vetorial:
\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC} =\det\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 0 & 2 & -1\\\\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} =(-4,\,-1,\,-2),
\|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}\| =\sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} =\sqrt{21}.
Assim a área é
\text{Área}_{ABC} =\frac{1}{2}\,\|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}\| =\frac{\sqrt{21}}{2}.Á

Resposta

a) A\widehat{B}C = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{7}{\sqrt{70}}\bigr)\approx 33{,}6^\circ
b) \displaystyle \frac{\sqrt{21}}{2}

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