(11 pontos) Usando o Teorema da Divergência, calcule o fluxo do campo
\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}+\ln (2+\cos (y z))\right) \vec{\imath}+\left(y^{3}+\cos ^{10}\left(x^{5}+z^{8}\right)\right) \vec{\jmath}+\left(x^{2}+y^{2}+z^{3}\right) \vec{k}
através da superficie S dada pela semi-esfera z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, orientada com normal apontando para fora. Note que S não é fechada.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\left(x^{3}+\ln(2+\cos(yz))\right)\vec{\imath}+\left(y^{3}+\cos^{10}(x^{5}+z^{8})\right)\vec{\jmath}+\left(x^{2}+y^{2}+z^{3}\right)\vec{k}
através da superfície S dada pela semi-esfera
z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}},
orientada com a normal apontando para fora. Observações e informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A superfície S é a semicúpula superior da esfera de raio 1 centrada na origem (ou seja, o conjunto \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\\ z\ge0\}).
  • S não é uma superfície fechada; a borda é o círculo x^{2}+y^{2}=1,\\ z=0.
  • O vetor normal em S deve ser o normal externo à esfera (normal apontando para fora do sólido interior).
  • Queremos calcular o fluxo \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): como S não é fechada, vamos aplicar o Teorema da Divergência fechando a superfície com o disco D no plano z=0 de raio 1 (o disco que preenche a borda), formando a superfície fechada \partial V = S\cup D, onde V é a região do semibolo superior ( x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1,\\ z\ge0). Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Aqui é importante definir a orientação do disco D: como queremos a normal externa ao volume V (o volume está acima do disco), a normal externa em D aponta para baixo, isto é, \vec{n}_{D}=-\vec{k}. Portanto, depois de calcular os dois termos do lado esquerdo (o integral de volume e o fluxo pelo disco), isolamos \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot\vec{F}. Lembremos que a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{3}+\ln(2+\cos(yz))\right) +\frac{\partial}{\partial y}\left(y^{3}+\cos^{10}(x^{5}+z^{8})\right) +\frac{\partial}{\partial z}\left(x^{2}+y^{2}+z^{3}\right).
Agora avalio termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\left(x^{3}+\ln(2+\cos(yz))\right)=3x^{2}, porque \ln(2+\cos(yz)) depende só de y e z, não de x.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\left(y^{3}+\cos^{10}(x^{5}+z^{8})\right)=3y^{2}, porque \cos^{10}(x^{5}+z^{8}) depende só de x e z, não de y.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}\left(x^{2}+y^{2}+z^{3}\right)=3z^{2}.
    Somando:
\nabla\cdot\vec{F}=3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}=3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right).

Passo 4

Calcular o integral de volume \displaystyle \iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=\iiint_{V}3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV. É natural usar coordenadas esféricas para essa integral, pois x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}. Em coordenadas esféricas (com \rho raio, \varphi ângulo polar medido a partir do eixo z, e \theta ângulo azimutal), temos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2},\qquad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Para o semibolo superior, os limites são \rho\in[0,1], \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (porque só a metade superior) e \theta\in[0,2\pi]. Assim o integrando vira 3\rho^{2} e o volume elemento traz mais \rho^{2}, resultando em 3\rho^{4}\sin\varphi. Portanto
\iiint_{V}3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV =3\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}\rho^{4}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Calcule as integrais fáceis separadas:
\int_{0}^{1}\rho^{4}\,d\rho=\frac{1}{5},\qquad \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi=1,\qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Multiplicando:
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=3\cdot 2\pi\cdot 1\cdot\frac{1}{5}=\frac{6\pi}{5}.

Passo 5

Calcular o fluxo através do disco D (o disco no plano z=0 de raio 1), com normal externa \vec{n}_{D}=-\vec{k}. No plano z=0, a componente k do campo é
F_{3}(x,y,0)=x^{2}+y^{2}+0^{3}=x^{2}+y^{2}.
O produto escalar \vec{F}\cdot\vec{n}_{D}=-F_{3} (pois \vec{n}_{D}=-\vec{k}), então
\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}_{D}\,dS=\iint_{D}-(x^{2}+y^{2})\,dA.
Use coordenadas polares no disco: x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta,\\ dA=r\,dr\,d\theta, com r\in[0,1] e \theta\in[0,2\pi]. Então
\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}_{D}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}-(r^{2})\cdot r\,dr\,d\theta =-\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}r^{3}\,dr.
Calcule:
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr=\frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,
logo
\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}_{D}\,dS=-2\pi\cdot\frac{1}{4}=-\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Usar o Teorema da Divergência para relacionar os termos:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}_{D}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Substituindo os valores calculados:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS +\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{6\pi}{5}.
Isolando o fluxo desejado pela semi-esfera S:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\frac{6\pi}{5}+\frac{\pi}{2}=\frac{12\pi}{10}+\frac{5\pi}{10}=\frac{17\pi}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{17\pi}{10}

Exercícios relacionados