(11 pontos) Usando o Teorema da Divergência, calcule o fluxo do campo
através da superficie
dada pela semi-esfera
, orientada com normal apontando para fora. Note que
não é fechada.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da superfície
dada pela semi-esfera
orientada com a normal apontando para fora. Observações e informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A superfície
é a semicúpula superior da esfera de raio centrada na origem (ou seja, o conjunto ). -
não é uma superfície fechada; a borda é o círculo . - O vetor normal em
deve ser o normal externo à esfera (normal apontando para fora do sólido interior). - Queremos calcular o fluxo
.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): como
não é fechada, vamos aplicar o Teorema da Divergência fechando a superfície com o disco
no plano
de raio
(o disco que preenche a borda), formando a superfície fechada
, onde
é a região do semibolo superior (
). Pelo Teorema da Divergência:
Aqui é importante definir a orientação do disco
: como queremos a normal externa ao volume
(o volume está acima do disco), a normal externa em
aponta para baixo, isto é,
. Portanto, depois de calcular os dois termos do lado esquerdo (o integral de volume e o fluxo pelo disco), isolamos
.
Passo 3
Calcular a divergência
. Lembremos que a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
Agora avalio termo a termo:
-
, porque depende só de e , não de . -
, porque depende só de e , não de . -
.
Somando:
Passo 4
Calcular o integral de volume
. É natural usar coordenadas esféricas para essa integral, pois
. Em coordenadas esféricas (com
raio,
ângulo polar medido a partir do eixo
, e
ângulo azimutal), temos
Para o semibolo superior, os limites são
,
(porque só a metade superior) e
. Assim o integrando vira
e o volume elemento traz mais
, resultando em
. Portanto
Calcule as integrais fáceis separadas:
Multiplicando:
Passo 5
Calcular o fluxo através do disco
(o disco no plano
de raio
), com normal externa
. No plano
, a componente
do campo é
O produto escalar
(pois
), então
Use coordenadas polares no disco:
, com
e
. Então
Calcule:
logo
Passo 6
Usar o Teorema da Divergência para relacionar os termos:
Substituindo os valores calculados:
Isolando o fluxo desejado pela semi-esfera
: