Questão 8. Considere a sequência \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} cujo termo geral é dado por
a_{n}=\frac{(-1)^{n} n!}{n^{n}} .
É verdadeiro dizer sobre a sequência:
converge para 0 pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}<1
B oscila entre -\frac{1}{e} e \frac{1}{e}
C \left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}>0
D \left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=e>0
E é convergente pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=e \neq 0
(O) converge para \frac{1}{e} pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
a_{n}=\frac{(-1)^{n} n!}{n^{n}}.
Pede-se verificar qual das alternativas apresentadas é verdadeira (A, B, C, D, E ou (O)). As informações relevantes do enunciado são:
As alternativas envolvem afirmações sobre o limite de a_n ou de |a_n| e usam o quociente \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| ou similares. O que precisamos decidir é qual afirmação é correta.
Passo 2
Vamos primeiro calcular explicitamente a razão das magnitudes dos termos:
Com o resultado \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L=\frac{1}{e}<1, explico por que isso implica |a_n|\to 0 (e, consequentemente, a_n\to 0):
Teorema intuitivo que usaremos: se existe L com 0\le L<1 e \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=L, então os termos |a_n| decrescem geometricamente a partir de algum índice e tendem a zero. Razão formal curta:
Escolha r tal que L<r<1. Como o quociente tende a L, existe N tal que para todo n\ge N temos \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<r.
Então para m\ge 0,
|a_{N+m}|\le |a_N|\, r^{m}.
r^{m}\to 0 quando m\to\infty, logo |a_{N+m}|\to 0. Assim |a_n|\to 0 e, portanto, a_n\to 0.
Como consequência direta, a sequência \left(a_n\right) converge para 0.
Passo 5
Comentando as alternativas e esclarecendo equívocos:
Alternativa A: "converge para 0 pois \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{e}<1". Esta é correta: mostramos justamente que a razão tende a \frac{1}{e} e que isso implica a_n\to 0.
Alternativa B: "oscila entre -\frac{1}{e} e \frac{1}{e}". Incorreta: embora o sinal de a_n seja alternado por (-1)^n, os termos não ficam fixos entre \pm\frac{1}{e}; na verdade a magnitude tende a 0, não a \frac{1}{e}.
Alternativas C e D: afirmam que |a_n|\to+\infty; isso é falso, pois mostramos |a_n|\to 0.
Alternativa E: afirmações numéricas erradas (diz que a razão tende a e\neq 0), o que contradiz o cálculo que obtivemos.
Alternativa (O): "converge para \frac{1}{e}". Falso: o limite de a_n é 0, não \frac{1}{e}. A constante \frac{1}{e} apareceu como limite da razão, não como limite dos termos.