Questão 8. Considere a sequência \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} cujo termo geral é dado por
a_{n}=\frac{(-1)^{n} n!}{n^{n}} .
É verdadeiro dizer sobre a sequência:
converge para 0 pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}<1
B oscila entre -\frac{1}{e} e \frac{1}{e}
C \left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}>0
D \left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=e>0
E é convergente pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=e \neq 0
(O) converge para \frac{1}{e} pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
a_{n}=\frac{(-1)^{n} n!}{n^{n}}.
Pede-se verificar qual das alternativas apresentadas é verdadeira (A, B, C, D, E ou (O)). As informações relevantes do enunciado são:
\text{termo geral }a_{n}=\frac{(-1)^{n} n!}{n^{n}}.
As alternativas envolvem afirmações sobre o limite de a_n ou de |a_n| e usam o quociente \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| ou similares. O que precisamos decidir é qual afirmação é correta.

Passo 2

Vamos primeiro calcular explicitamente a razão das magnitudes dos termos:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\frac{n!}{n^{n}}}.
Desenvolvendo passo a passo:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{n!} = (n+1)\cdot\frac{n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}}.
Agrupando potências:
(n+1)\cdot\frac{n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.

Passo 3

Agora calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.
Note que
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}.
Um limite padrão que usamos é
\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{x}{m}\right)^{m}=e^{x}.
Tomando m=n+1 e x=-1 obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=e^{-1}.
Como nosso expoente é n e não n+1, escrevemos
\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1\;}{}^{\frac{n}{n+1}}
e, passando ao limite,
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} = e^{-1}\cdot 1 = e^{-1}.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{e}<1.

Passo 4

Com o resultado \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L=\frac{1}{e}<1, explico por que isso implica |a_n|\to 0 (e, consequentemente, a_n\to 0):
Teorema intuitivo que usaremos: se existe L com 0\le L<1 e \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=L, então os termos |a_n| decrescem geometricamente a partir de algum índice e tendem a zero. Razão formal curta:
  • Escolha r tal que L<r<1. Como o quociente tende a L, existe N tal que para todo n\ge N temos \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<r.
  • Então para m\ge 0,
|a_{N+m}|\le |a_N|\, r^{m}.
  • r^{m}\to 0 quando m\to\infty, logo |a_{N+m}|\to 0. Assim |a_n|\to 0 e, portanto, a_n\to 0.
Como consequência direta, a sequência \left(a_n\right) converge para 0.

Passo 5

Comentando as alternativas e esclarecendo equívocos:
  • Alternativa A: "converge para 0 pois \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{e}<1". Esta é correta: mostramos justamente que a razão tende a \frac{1}{e} e que isso implica a_n\to 0.
  • Alternativa B: "oscila entre -\frac{1}{e} e \frac{1}{e}". Incorreta: embora o sinal de a_n seja alternado por (-1)^n, os termos não ficam fixos entre \pm\frac{1}{e}; na verdade a magnitude tende a 0, não a \frac{1}{e}.
  • Alternativas C e D: afirmam que |a_n|\to+\infty; isso é falso, pois mostramos |a_n|\to 0.
  • Alternativa E: afirmações numéricas erradas (diz que a razão tende a e\neq 0), o que contradiz o cálculo que obtivemos.
  • Alternativa (O): "converge para \frac{1}{e}". Falso: o limite de a_n é 0, não \frac{1}{e}. A constante \frac{1}{e} apareceu como limite da razão, não como limite dos termos.

Resposta

A

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