Questão 8. Considere a sequência \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} cujo termo geral é dado por
a_{n}=\frac{(-1)^{n} n!}{n^{n}} .
É verdadeiro dizer sobre a sequência:
\begin{aligned} & \text { D converge para } 0 \text { pois } \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}<1 \\ & \text { B oscila entre }-\frac{1}{e} \text { e } \frac{1}{e} \\ & \text { (C }\left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty \text { pois } \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}>0 \\ & \text { D }\left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty \text { pois } \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n}}\right|=e>0 \\ & \text { E é convergente pois } \lim _{n \rightarrow+\infty} \left\lvert\, \frac{a_{n}}{a_{n}}-1=e\right. \\ & \text { converge para } \frac{1}{e} \text { pois } \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e} \end{aligned}é

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
a_{n}=\frac{(-1)^{n}\,n!}{n^{n}}.
Devemos avaliar afirmações sobre o comportamento dessa sequência. As informações relevantes que aparecem no enunciado (e que vamos analisar) são:
\,1.\, o valor do quociente em módulo \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| e seu limite quando n\to\infty;
\,2.\, se a sequência a_n converge e, em caso afirmativo, para qual valor;
\,3.\, se |a_n| diverge ou converge;
\,4.\, afirmações que dizem que a sequência “oscila entre -\tfrac{1}{e} e \tfrac{1}{e}” ou que converge para \tfrac{1}{e}.
Não vou resolver nada neste passo — só listei os dados e as perguntas que aparecem no enunciado.

Passo 2

Calculemos o quociente em módulo entre termos consecutivos. Primeiro escrevo \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| usando a definição de a_n:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)!/(n+1)^{\,n+1}}{n!/n^{\,n}} = \frac{(n+1)!\,n^{\,n}}{n!\,(n+1)^{\,n+1}}.
Agora simplifico o fatorial (n+1)! = (n+1)\,n!, cancelando n!:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)\,n^{\,n}}{(n+1)^{\,n+1}} = \frac{n^{\,n}}{(n+1)^{\,n}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.

Passo 3

Estudemos o limite de \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n} quando n\to\infty. Note que
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} = \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}.
Há um limite clássico: \displaystyle\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m} = e^{-1}. Se fazemos a troca m=n+1 obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} = e^{-1}.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{e}.

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior: o limite do quociente em módulo é \dfrac{1}{e}, que é um número estritamente menor do que 1 (pois e\approx 2{,}718). Isto nos dá uma informação poderosa sobre |a_n|. Vou mostrar por que isso implica |a_n|\to 0.
Teorema informal que usamos (e explico): se (b_n) é uma sequência positiva tal que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=L com L<1, então b_n\to 0. A ideia do argumento é: escolha r com L<r<1. Então, para n suficientemente grande, \dfrac{b_{n+1}}{b_n}<r. A partir de algum índice N em diante, cada termo sucessivo é no máximo um fator r do anterior, então b_{N+k}\le b_N\,r^{k}. Como r^{k}\to 0, segue que b_n\to 0.

Passo 5

Aplique o argumento do passo anterior à nossa sequência com b_n=|a_n|. Já vimos que
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{1}{e}<1.
Escolhemos r tal que 1/e<r<1. Então existe N tal que, para todo n\ge N,
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < r.
Isso implica, por indução, que para todo k\ge0,
|a_{N+k}| \le |a_N|\,r^{k}.
Como r^{k}\to0 quando k\to\infty, segue que |a_n|\to0. Portanto a sequência (|a_n|) converge para 0.

Passo 6

Como |a_n|\to0 e a_n tem o fator alternante (-1)^n, isso dá imediatamente que a_n\to0 também (o sinal alternado não impede convergência para 0; ele apenas faz os termos terem sinais opostos, mas ambos os subsequentes positivos e negativos tendem a 0). Logo a sequência a_n converge e o limite é 0.

Passo 7

Confrontando com as afirmações do enunciado:
  • É correto afirmar que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{e}.
  • É incorreto afirmar que a sequência oscila entre -\tfrac{1}{e} e \tfrac{1}{e}: os termos não ficam presos nesses valores; os valores de |a_n| decrescem para 0, logo não permanecem em torno de \tfrac{1}{e}.
  • É falso que |a_n|\to+\infty.
  • É falso que a_n\to\frac{1}{e}.
  • Qualquer justificação que use expressões como \lim |a_n/a_n|=e ou semelhantes está errada e incoerente (essa fração é 1 para todo n).
Resumo didático rápido: o cálculo direto do quociente mostrou que os módulos dos termos diminuem aproximadamente como uma sequência geométrica de razão próxima de 1/e, e daí vem a convergência para zero. Poderíamos também ver, por aproximação de Stirling, que
|a_n|=\frac{n!}{n^{n}}\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{1}{e}\right)^{n},
o que dá uma outra verificação explícita de que |a_n| vai para 0 exponencialmente rápido, mas não precisei dessa fórmula para concluir a convergência.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{e}.
\displaystyle a_n\to 0 (logo |a_n|\to 0).

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