Questão 6. Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
A \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{4 n}}{n}.
(B) \sum_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-2 n}
ᄃ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n^{o}+3 n^{2}-7 n}{n^{3}-9 n+700}\right)^{n}.
D \sum_{n=0}^{\infty}\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}\right)^{n}.
4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\ln (n))^{4 n}}{n^{2 n}}.
F \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{2 n^{2}+3}{4 n^{2}}\right)^{n}.
Passo 1
O que o enunciado pede: identificar para quais das séries dadas o teste da raiz (também chamado teste de Cauchy) permite concluir que a série converge.
Séries fornecidas (vou rotular A–F na ordem que aparecem):
A: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi^{4n}}{n}.
B: \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-2n}.
C: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n^{3}+3n^{2}-7n}{n^{3}-9n+700}\right)^{n}. (assumi que o expoente do primeiro termo é 3, para termos graus compatíveis)
D: \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}\right)^{n}.
E: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln(n))^{4n}}{n^{2n}}.
F: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{2n^{2}+3}{4n^{2}}\right)^{n}.
Passo 2
Enunciado do teste da raiz (explicação bem didática). Seja a_n um termo de série real ou complexo. Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
Se L>1, então a série diverge (porque os termos não tendem a zero).
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Observação prática: quando existe o limite \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}, ele é igual ao \limsup e usamos esse limite no lugar de L. Para séries do tipo (b_n)^n ou com potências exponenciais, esse teste costuma ser muito simples porque \sqrt[n]{(b_n)^n}=|b_n|.
Vou aplicar esse teste em cada série, calculando \sqrt[n]{a_n} e o seu limite quando n\to\infty.
Passo 3
Série A: a_n=\dfrac{\pi^{4n}}{n}. Calcule a raiz n-ésima:
Sabemos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1. Logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\pi^{4}.
Como \pi^{4}>1, o teste da raiz dá L>1 e portanto conclui-se que a série diverge. Conclusão: não nos permite concluir convergência.
Passo 4
Série B: a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-2n}. A raiz n-ésima é
\sqrt[n]{a_n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-2}.
Quando n\to\infty, \left(1-\frac{1}{n}\right)\to1, então
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1^{-2}=1.
Portanto L=1 e o teste da raiz é inconclusivo (não permite concluir convergência). (Nota: independente do teste da raiz, os termos a_n tendem a e^{2}, logo a série diverge pelo critério de termo não nulo, mas isso é fora do que pede a questão.)
Passo 5
Série C: a_n=\left(\dfrac{2n^{3}+3n^{2}-7n}{n^{3}-9n+700}\right)^{n}. Para a raiz:
Como 2>1, o teste da raiz dá L>1 e a série diverge. Logo não conclui convergência.
Passo 6
Série D: a_n=\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}\right)^{n}. Primeiro calcule a soma geométrica interna (fórmula da soma de uma progressão geométrica; aqui usei a fórmula da soma finita):
Como \frac{3}{2}>1, o teste da raiz dá L=\tfrac{3}{2}>1, logo divergência; não conclui convergência.
Passo 7
Série E: a_n=\dfrac{(\ln(n))^{4n}}{n^{2n}}. Calcule a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n}=\frac{(\ln n)^{4}}{n^{2}}.
Precisamos do limite de \dfrac{(\ln n)^{4}}{n^{2}} quando n\to\infty. Uma forma simples e rigorosa: note que para grandes n temos \ln n=o(n^{1/2}), ou seja \dfrac{\ln n}{n^{1/2}}\to0. Então
Como 0<1, o teste da raiz conclui que a série converge absolutamente (portanto converge). Este é o caso em que o teste da raiz permite concluir convergência.
Passo 8
Série F: primeiro simplificar o que está dentro da potência:
Logo L=1 e o teste da raiz é inconclusivo (não permite concluir convergência). (Observação: de fato a_n\to1 e a série diverge por o termo não tender a zero, mas novamente isso é fora do escopo do pedido — o teste da raiz não permite concluir convergência.)