Questão 6. Para as séries alternadas, verifique as duas condições do Teste da Série Alternada; (ii) determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
O enunciado dá a série alternada
e pede duas coisas:
- Verificar as duas condições do Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz).
- Determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Vou chamar
para trabalhar de forma mais clara. Note que
são os termos positivos (os sinais estão em
). As duas condições do Teste da Série Alternada que precisamos verificar são:
-
é uma sequência decrescente (ou decrescente a partir de algum índice): para suficientemente grande. -
.
Além disso, para decidir se a convergência é absoluta, analisaremos a série de termos positivos
.
Passo 2
Mostrar que
e calcular a razão
. Primeiro, claramente
Agora calculemos a razão entre termos consecutivos (isso ajuda tanto a verificar monotonicidade quanto a usar o teste da razão depois):
Simplificando um pouco,
Passo 3
Usar a razão para mostrar que
é decrescente. Para todo
os denominadores são positivos, então podemos comparar:
porque
(à direita cresce como
, enquanto a esquerda cresce linearmente). Logo
para todo
. Portanto a sequência
é estritamente decrescente desde o início.
Observação didática curta: provar monotonicidade por comparação da razão é uma técnica comum — se
então
.
Passo 4
Mostrar que
. Há várias maneiras; uma argumentação elementar é comparar
com uma sequência que tende a zero muito rápido. Reescrevendo
O denominador é um produto de
fatores, cada um maior ou igual a
. Assim
portanto
Como
quando
(é uma sequência que vai a zero super‑rapidamente), segue que
Breve comentário motivacional: essa é uma forma elemental de ver que
tende a zero — o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.
Passo 5
Conclusão do Teste da Série Alternada. Juntando Passo 3 e Passo 4,
,
é decrescente e
. Logo as duas condições do Teste da Série Alternada (Leibniz) são satisfeitas, e portanto a série alternada
converge.
Passo 6
Verificar convergência absoluta: aplicar o Teste da Razão à série de termos positivos
. Já calculamos a razão
Tomando limite quando
,
Pela regra do teste da razão: se
então
converge. Aqui
, logo a série
converge. Isso significa que a série original é absolutamente convergente (pois a soma dos valores absolutos converge).
Pequena explicação didática: convergência absoluta é mais forte que convergência condicional — se
converge então
converge automaticamente.
Resposta
As duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas:
,
para todo
e
.
A série é absolutamente convergente (logo converge).
A série é absolutamente convergente (logo converge).