Questão 6. Para as séries alternadas, verifique as duas condições do Teste da Série Alternada; (ii) determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \cdot \frac{(n+1)!}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado dá a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot \frac{(n+1)!}{(2n)!},
e pede duas coisas:
  • Verificar as duas condições do Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz).
  • Determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Vou chamar
a_n=\frac{(n+1)!}{(2n)!},
para trabalhar de forma mais clara. Note que a_n são os termos positivos (os sinais estão em (-1)^{n+1}). As duas condições do Teste da Série Alternada que precisamos verificar são:
  1. a_n é uma sequência decrescente (ou decrescente a partir de algum índice): a_{n+1}\le a_n para n suficientemente grande.
  2. \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Além disso, para decidir se a convergência é absoluta, analisaremos a série de termos positivos \sum_{n=1}^\infty a_n.

Passo 2

Mostrar que a_n>0 e calcular a razão a_{n+1}/a_n. Primeiro, claramente
a_n=\frac{(n+1)!}{(2n)!}>0\quad\text{para todo }n\ge1.
Agora calculemos a razão entre termos consecutivos (isso ajuda tanto a verificar monotonicidade quanto a usar o teste da razão depois):
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{(n+2)!}{(2n+2)!}}{\dfrac{(n+1)!}{(2n)!}} =\frac{(n+2)!}{(n+1)!}\cdot\frac{(2n)!}{(2n+2)!} =(n+2)\cdot\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Simplificando um pouco,
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+2}{2(n+1)(2n+1)}.

Passo 3

Usar a razão para mostrar que a_n é decrescente. Para todo n\ge1 os denominadores são positivos, então podemos comparar:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+2}{2(n+1)(2n+1)}<1,
porque
n+2 < 2(n+1)(2n+1)\quad\text{para todo }n\ge1
(à direita cresce como 4n^2, enquanto a esquerda cresce linearmente). Logo a_{n+1}<a_n para todo n\ge1. Portanto a sequência (a_n) é estritamente decrescente desde o início.
Observação didática curta: provar monotonicidade por comparação da razão é uma técnica comum — se a_{n+1}/a_n<1 então a_{n+1}<a_n.

Passo 4

Mostrar que \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Há várias maneiras; uma argumentação elementar é comparar a_n com uma sequência que tende a zero muito rápido. Reescrevendo
a_n=\frac{(n+1)!}{(2n)!}=\frac{(n+1)\,n!}{(2n)(2n-1)\cdots(n+1)\,n!} =\frac{n+1}{(2n)(2n-1)\cdots(n+1)}.
O denominador é um produto de n fatores, cada um maior ou igual a n+1. Assim
(2n)(2n-1)\cdots(n+1)\ge (n+1)^n,
portanto
a_n \le \frac{n+1}{(n+1)^n}=\frac{1}{(n+1)^{\,n-1}}.
Como \dfrac{1}{(n+1)^{\,n-1}}\to0 quando n\to\infty (é uma sequência que vai a zero super‑rapidamente), segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Breve comentário motivacional: essa é uma forma elemental de ver que a_n tende a zero — o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.

Passo 5

Conclusão do Teste da Série Alternada. Juntando Passo 3 e Passo 4, a_n>0, a_n é decrescente e \lim_{n\to\infty}a_n=0. Logo as duas condições do Teste da Série Alternada (Leibniz) são satisfeitas, e portanto a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_n
converge.

Passo 6

Verificar convergência absoluta: aplicar o Teste da Razão à série de termos positivos \sum_{n=1}^\infty a_n. Já calculamos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+2}{2(n+1)(2n+1)}.
Tomando limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{2(n+1)(2n+1)}=0.
Pela regra do teste da razão: se \lim_{n\to\infty} a_{n+1}/a_n = L < 1 então \sum a_n converge. Aqui L=0<1, logo a série \sum_{n=1}^\infty a_n converge. Isso significa que a série original é absolutamente convergente (pois a soma dos valores absolutos converge).
Pequena explicação didática: convergência absoluta é mais forte que convergência condicional — se \sum |u_n| converge então \sum u_n converge automaticamente.

Resposta

As duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas: a_n=\dfrac{(n+1)!}{(2n)!}>0, a_{n+1}<a_n para todo n e \lim_{n\to\infty}a_n=0.
A série é absolutamente convergente (logo converge).

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