Teorema Fundamental do Cálculo.
Considere a curva C em \mathbb{R}^{3} que é a interseção do plano x+y+z=1 com o parabolóide z=x^{2}+y^{2}. Calcule \int_{C} \nabla h d \Gamma onde h(x, y, z)=3 x+2 y+z.
a[ ] 0
b[ ] 1
c[ ] 2
d[ ] 3
e[ ] 4

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A curva C é a interseção do plano x+y+z=1 com o parabolóide z=x^{2}+y^{2}.
  • A função escalar é h(x,y,z)=3x+2y+z.
    O que se pede:
  • Calcular \displaystyle \int_{C} \nabla h\; d\Gamma, ou seja, o integral de linha do campo gradiente de h ao longo da curva C.

Passo 2

Entendendo o que significa \nabla h e o integral pedido.
  • O gradiente de h é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de h. Vamos calcular:
\nabla h=\left(\frac{\partial h}{\partial x},\frac{\partial h}{\partial y},\frac{\partial h}{\partial z}\right).
Para h(x,y,z)=3x+2y+z temos
\frac{\partial h}{\partial x}=3,\qquad \frac{\partial h}{\partial y}=2,\qquad \frac{\partial h}{\partial z}=1,
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\nabla h=(3,2,1).
  • O integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), t\in[a,b], é
\int_{C} F\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b} F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
No nosso caso F=\nabla h.

Passo 3

Enunciando e demonstrando o Teorema Fundamental para integrais de linha (linha sobre gradientes).
  • Teorema: se h é diferenciável e \mathbf{r}(t) é uma parametrização suave de C com \mathbf{r}(a)=P e \mathbf{r}(b)=Q, então
\int_{C} \nabla h\cdot d\mathbf{r}=h(Q)-h(P).
  • Demonstração curta e didática: considere a função composta g(t)=h(\mathbf{r}(t)). Pela regra da cadeia,
g'(t)=\nabla h(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t).
Integrando de a até b,
\int_{a}^{b} \nabla h(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt = \int_{a}^{b} g'(t)\,dt = g(b)-g(a)=h(Q)-h(P).
Portanto a integral do gradiente depende só dos pontos finais da curva (é independente do caminho).

Passo 4

Verificamos se C é uma curva fechada (ou seja, se os pontos inicial e final coincidem).
  • Substituímos z=x^{2}+y^{2} na equação do plano x+y+z=1:
x+y+x^{2}+y^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}+x+y-1=0.
  • Completando quadrados:
\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{4}+\left(y+\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{4}-1=0
\Longrightarrow\quad \left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(y+\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{3}{2}.
Isto descreve um círculo no plano z=x^{2}+y^{2} (mais precisamente na projeção xy) com centro em \left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right) e raio \sqrt{\tfrac{3}{2}}. Para cada ponto (x,y) desse círculo existe z=x^{2}+y^{2}, logo a interseção é uma curva fechada (um laço) em \mathbb{R}^{3}.
  • Como C é fechada, qualquer parametrização suave satisfaz \mathbf{r}(a)=\mathbf{r}(b). Assim os pontos inicial e final coincidem.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental e concluindo.
  • Pelo Teorema Fundamental do cálculo para integrais de linha, para qualquer parametrização de C temos
\int_{C} \nabla h\cdot d\mathbf{r}=h(\mathbf{r}(b))-h(\mathbf{r}(a)).
  • Como C é fechada, \mathbf{r}(b)=\mathbf{r}(a), então a diferença é zero:
\int_{C} \nabla h\cdot d\mathbf{r}=0.
  • Observação alternativa (intuição rápida): \nabla h é um vetor constante (3,2,1). A integral sobre uma curva fechada pode ser vista como (3,2,1)\cdot\int_{C} d\mathbf{r}=(3,2,1)\cdot(\mathbf{r}(b)-\mathbf{r}(a))=(3,2,1)\cdot\mathbf{0}=0.

Resposta

(a) 0

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