Teorema Fundamental do Cálculo.
Considere a curva
em
que é a interseção do plano
com o parabolóide
. Calcule
onde
.
a[ ] 0
b[ ] 1
c[ ] 2
d[ ] 3
e[ ] 4
a[ ] 0
b[ ] 1
c[ ] 2
d[ ] 3
e[ ] 4
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A curva
é a interseção do plano com o parabolóide . - A função escalar é
.
O que se pede: - Calcular
, ou seja, o integral de linha do campo gradiente de ao longo da curva .
Passo 2
Entendendo o que significa
e o integral pedido.
- O gradiente de
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de . Vamos calcular:
Para
temos
logo
- O integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada por , , é
No nosso caso
.
Passo 3
Enunciando e demonstrando o Teorema Fundamental para integrais de linha (linha sobre gradientes).
- Teorema: se
é diferenciável e é uma parametrização suave de com e , então
- Demonstração curta e didática: considere a função composta
. Pela regra da cadeia,
Integrando de
até
,
Portanto a integral do gradiente depende só dos pontos finais da curva (é independente do caminho).
Passo 4
Verificamos se
é uma curva fechada (ou seja, se os pontos inicial e final coincidem).
- Substituímos
na equação do plano :
- Completando quadrados:
Isto descreve um círculo no plano
(mais precisamente na projeção
) com centro em
e raio
. Para cada ponto
desse círculo existe
, logo a interseção é uma curva fechada (um laço) em
.
- Como
é fechada, qualquer parametrização suave satisfaz . Assim os pontos inicial e final coincidem.
Passo 5
Aplicando o Teorema Fundamental e concluindo.
- Pelo Teorema Fundamental do cálculo para integrais de linha, para qualquer parametrização de
temos
- Como
é fechada, , então a diferença é zero:
- Observação alternativa (intuição rápida):
é um vetor constante . A integral sobre uma curva fechada pode ser vista como .
Resposta
(a)