Questão 2 Considere o sistema:
l x+2 y-z=1 2 x+5 y+z=10 3 x+6 y=12
a) Resolva o sistema pelo método da eliminação de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da eliminação de Gauss. Esse método ajuda a simplificar o sistema transformando-o em uma forma mais fácil de resolver, geralmente uma forma triangular. Para isso, vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez até chegar numa solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
x + 2y - z = 1 2x + 5y + z = 10 3x + 6y = 12
Para facilitar, vamos formar a matriz aumentada do sistema, que junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes:
1 & 2 & -1 & | & 1 2 & 5 & 1 & | & 10 3 & 6 & 0 & | & 12

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar a variável x das equações 2 e 3. Para fazer isso, vamos usar a primeira equação como referência.
  • Para a equação 2: Subtraímos 2 vezes a equação 1 da equação 2.
Nova eq 2 = eq 2 - 2 times eq 1
2x + 5y + z - 2(x + 2y - z) = 10 - 2(1)
2x + 5y + z - 2x - 4y + 2z = 10 - 2
y + 3z = 8
  • Para a equação 3: Subtraímos 3 vezes a equação 1 da equação 3.
Nova eq 3 = eq 3 - 3 times eq 1
3x + 6y - 3(x + 2y - z) = 12 - 3(1)
3x + 6y - 3x - 6y + 3z = 12 - 3
3z = 9 Rightarrow z = 3

Passo 4

Agora que já descobrimos o valor de z , podemos substituir esse valor na nova equação 2 para encontrar y :
y + 3z = 8
Substituindo z = 3 :
y + 3(3) = 8
y + 9 = 8 Rightarrow y = 8 - 9 Rightarrow y = -1

Passo 5

Com y = -1 e z = 3 , vamos substituir esses valores na primeira equação para encontrar x :
x + 2y - z = 1
Substituindo y = -1 e z = 3 :
x + 2(-1) - 3 = 1
x - 2 - 3 = 1
x - 5 = 1 Rightarrow x = 1 + 5 Rightarrow x = 6

Resposta

A solução do sistema é:
x = 6, y = -1, z = 3

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