Verifique se o conjunto dado, munido das operações de adição e de multiplicação por escalar especificadas, é um espaço vetorial. Se não for, especifique qual o axioma que não é satisfeito nesse caso.
(c) O conjunto de todos os números reais estritamente positivos com adição oplus dada por x oplus y=x y e multiplicação por escalar odot dada por lambda odot x=x^lambda, forall lambda in R .

Passo 1

O enunciado define o conjunto
;V=xinRmid x>0
com a “adição”
;xoplus y = x,y
e a multiplicação por escalar
;lambdaodot x = x^lambda, lambdainR,
Para ser espaço vetorial sobre R, precisamos verificar que (V,oplus) é um grupo abeliano e que a ação de R em V satisfaz os axiomas de multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação de (V,oplus) como grupo abeliano:
– Fechamento: se x>0 e y>0 então xoplus y=xy>0, logo xoplus yin V.
– Associatividade: xoplus(yoplus z)=x,(y,z)=(x,y),z=(xoplus y)oplus z.
– Elemento neutro: 1in V e 1oplus x=1cdot x=x para todo x.
– Inverso: para xin V, x^-1=1/x>0 e xoplus x^-1=xcdot(1/x)=1.
– Comutatividade: xoplus y=xy=yx=yoplus x.

Passo 3

Fechamento e propriedades básicas de odot:
– Fechamento: se x>0 e lambdainR então x^lambda>0, logo lambdaodot xin V.
– Ação do escalar 1:
;1odot x = x^1 = x
– Compatibilidade de escalares:
;( lambdamu)odot x = x^lambdamu = lambdaodot(x^mu) = lambdaodot(muodot x)

Passo 4

Distributividades:
– Sobre soma de escalares:
(lambda+mu)odot x = x^lambda+mu = x^lambda,x^mu = (lambdaodot x)oplus(muodot x)
– Sobre soma em V:
lambdaodot(xoplus y) = (x,y)^lambda = x^lambda,y^lambda = (lambdaodot x)oplus(lambdaodot y)

Passo 5

Consequências importantes (a partir dos axiomas já verificados):
0 odot x = x^0 = 1, que é o neutro de oplus.
(-1) odot x = x^-1, que é o inverso de x em oplus.
Como todos os axiomas de espaço vetorial estão satisfeitos, concluímos:

Resposta

O conjunto (V,oplus,odot) é de fato um espaço vetorial sobre R.

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