Verifique se o conjunto dado, munido das operações de adição e de multiplicação por escalar especificadas, é um espaço vetorial. Se não for, especifique qual o axioma que não é satisfeito nesse caso.
(c) O conjunto de todos os números reais estritamente positivos com adição
dada por
e multiplicação por escalar
dada por
.
(c) O conjunto de todos os números reais estritamente positivos com adição
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a “adição”
e a multiplicação por escalar
Para ser espaço vetorial sobre
, precisamos verificar que
é um grupo abeliano e que a ação de
em
satisfaz os axiomas de multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação de
como grupo abeliano:
– Fechamento: se e
então
, logo
.
– Associatividade: .
– Elemento neutro: e
para todo
.
– Inverso: para ,
e
.
– Comutatividade: .
– Fechamento: se
– Associatividade:
– Elemento neutro:
– Inverso: para
– Comutatividade:
Passo 3
Fechamento e propriedades básicas de
:
– Fechamento: se e
então
, logo
.
– Ação do escalar :
– Fechamento: se
– Ação do escalar
– Compatibilidade de escalares:
Passo 4
Distributividades:
– Sobre soma de escalares:
– Sobre soma de escalares:
– Sobre soma em
:
Passo 5
Consequências importantes (a partir dos axiomas já verificados):
– , que é o neutro de
.
– , que é o inverso de
em
.
–
–
Como todos os axiomas de espaço vetorial estão satisfeitos, concluímos:
Resposta
O conjunto
é de fato um espaço vetorial sobre
.