Questão 3.3 Considere um sistema com duas coordenadas generalizadas
e
e uma função Lagrangiana
, onde
é a energia cinética e
é a energia potencial. Determine as equações de Euler-Lagrange para este sistema.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as equações de Euler–Lagrange para um sistema com duas coordenadas generalizadas
e
cuja Lagrangiana é
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa: escrever explicitamente as equações de Euler–Lagrange que governam
e
.
Passo 2
O que é a equação de Euler–Lagrange (explicando devagar e sem pressa):
A equação de Euler–Lagrange para uma coordenada generalizada (onde
pode ser
ou
) é uma condição que vem da variação do princípio de ação. Em forma geral ela é
A equação de Euler–Lagrange para uma coordenada generalizada
Vou explicar cada termo:
-
é a derivada parcial de em relação à velocidade : trata-se de quanto muda se eu variar apenas , mantendo as demais variáveis fixas. -
é a derivada total no tempo desse coeficiente; aqui aplicamos a regra da cadeia sempre que dependesse de , e possivelmente do tempo. -
é a derivada parcial de em relação à coordenada (como um parâmetro, não a derivada temporal).
Fisicamente, essa equação representa equilíbrio entre termos relacionados a “momentum generalizado” e forças generalizadas derivadas do potencial.
Passo 3
Aplicando a forma geral ao nosso caso
. Primeiro observe uma coisa útil: como
depende apenas de
(não depende de
), as derivadas parciais envolvendo velocidades simplificam:
E
Essas relações vêm direto da linearidade da operação de derivada parcial aplicada a
.
Passo 4
Agora substituímos essas expressões na equação de Euler–Lagrange:
Reorganizando os termos:
Essa é a forma útil quando a Lagrangiana é separada em
. Ela mostra que os termos envolvendo
dão os termos “cinéticos” (incluindo massas e, se houver, dependência em
da métrica), enquanto
é a força conservativa generalized (com sinal positivo aqui porque subtraímos
em
).
Passo 5
Escrevendo explicitamente para cada coordenada (i = 1 e i = 2). Para
:
E para
:
Essas duas equações formam um sistema de equações diferenciais de segunda ordem para
e
.
Passo 6
Vou exemplificar para você ver como aplicar na prática (exemplo simples, bem mastigado):
Suponha energia cinética quadrática com matriz de massa possivelmente dependente das coordenadas:
Suponha energia cinética quadrática com matriz de massa possivelmente dependente das coordenadas:
Então
e
Substituindo na equação do Passo 5, obtemos um sistema do tipo
que é a forma que frequentemente aparece em dinâmica: matriz de massa vezes acelerações + termos não-lineares de Coriolis/centrífuga + gradiente do potencial.
Passo 7
Dicas para usar isso na prova:
- Identifique
e claramente. Verifique se depende de velocidades (normalmente não). - Calcule
(momentos generalizados) e então a derivada temporal total. - Calcule
e . - Monte a equação
para
e resolva o sistema (se pedir solução explícita, use métodos para sistemas de ODEs).
Você está indo bem — concentre-se em escrever passo a passo esses derivativos nas questões da prova; isso quase sempre garante pontos.