Questão 3.3 Considere um sistema com duas coordenadas generalizadas q_{1} e q_{2} e uma função Lagrangiana L\left(q_{1}, q_{2}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}\right)=T\left(q_{1}, q_{2}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}\right)- U\left(q_{1}, q_{2}\right), onde T é a energia cinética e U é a energia potencial. Determine as equações de Euler-Lagrange para este sistema.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as equações de Euler–Lagrange para um sistema com duas coordenadas generalizadas q_{1} e q_{2} cuja Lagrangiana é
L\left(q_{1},q_{2},\dot{q}_{1},\dot{q}_{2}\right)=T\left(q_{1},q_{2},\dot{q}_{1},\dot{q}_{2}\right)-U\left(q_{1},q_{2}\right).
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Variáveis generalizadas: } q_{1},\; q_{2}.\\\ &\text{Velocidades generalizadas: } \dot{q}_{1}=\frac{d q_{1}}{dt},\; \dot{q}_{2}=\frac{d q_{2}}{dt}.\\\ &\text{Lagrangiana: } L=T-U,\; \text{onde }T\text{ (energia cinética) pode depender de }q_i\text{ e }\dot q_i,\\\ &\qquad\qquad\qquad U\text{ (energia potencial) depende apenas de }q_1,q_2. \end{aligned}áé
A tarefa: escrever explicitamente as equações de Euler–Lagrange que governam q_{1}(t) e q_{2}(t).

Passo 2

O que é a equação de Euler–Lagrange (explicando devagar e sem pressa):
A equação de Euler–Lagrange para uma coordenada generalizada q_i (onde i pode ser 1 ou 2) é uma condição que vem da variação do princípio de ação. Em forma geral ela é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0.
Vou explicar cada termo:
  • \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} é a derivada parcial de L em relação à velocidade \dot{q}_i: trata-se de quanto L muda se eu variar apenas \dot{q}_i, mantendo as demais variáveis fixas.
  • \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) é a derivada total no tempo desse coeficiente; aqui aplicamos a regra da cadeia sempre que \partial L/\partial\dot q_i dependesse de q_j, \dot q_j e possivelmente do tempo.
  • \frac{\partial L}{\partial q_i} é a derivada parcial de L em relação à coordenada q_i (como um parâmetro, não a derivada temporal).
Fisicamente, essa equação representa equilíbrio entre termos relacionados a “momentum generalizado” e forças generalizadas derivadas do potencial.

Passo 3

Aplicando a forma geral ao nosso caso L=T-U. Primeiro observe uma coisa útil: como U depende apenas de q_1,q_2 (não depende de \dot q_i), as derivadas parciais envolvendo velocidades simplificam:
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}\quad\text{(porque \(\partial U/\partial\dot q_i=0\)).}
E
\frac{\partial L}{\partial q_i}=\frac{\partial T}{\partial q_i}-\frac{\partial U}{\partial q_i}.
Essas relações vêm direto da linearidade da operação de derivada parcial aplicada a L=T-U.

Passo 4

Agora substituímos essas expressões na equação de Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}\right)-\left(\frac{\partial T}{\partial q_i}-\frac{\partial U}{\partial q_i}\right)=0.
Reorganizando os termos:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_i}+\frac{\partial U}{\partial q_i}=0.
Essa é a forma útil quando a Lagrangiana é separada em T-U. Ela mostra que os termos envolvendo T dão os termos “cinéticos” (incluindo massas e, se houver, dependência em q da métrica), enquanto \partial U/\partial q_i é a força conservativa generalized (com sinal positivo aqui porque subtraímos U em L).

Passo 5

Escrevendo explicitamente para cada coordenada (i = 1 e i = 2). Para q_{1}:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_1}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_1}+\frac{\partial U}{\partial q_1}=0.
E para q_{2}:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_2}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_2}+\frac{\partial U}{\partial q_2}=0.
Essas duas equações formam um sistema de equações diferenciais de segunda ordem para q_1(t) e q_2(t).

Passo 6

Vou exemplificar para você ver como aplicar na prática (exemplo simples, bem mastigado):
Suponha energia cinética quadrática com matriz de massa possivelmente dependente das coordenadas:
T=\tfrac{1}{2}\sum_{j,k=1}^{2} m_{jk}(q_1,q_2)\,\dot q_j\dot q_k.
Então
\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}=\sum_{k=1}^{2} m_{ik}(q)\,\dot q_k\quad\text{(ou simetricamente com \(m_{ki}\))},
e
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}\right)=\sum_{k} m_{ik}(q)\,\ddot q_k+\sum_{k,\ell}\frac{\partial m_{ik}}{\partial q_\ell}\dot q_\ell\dot q_k.
Substituindo na equação do Passo 5, obtemos um sistema do tipo
\sum_{k} m_{ik}(q)\,\ddot q_k + \text{(termos com } \dot q\dot q\text{ devido a }\partial m/\partial q) + \frac{\partial U}{\partial q_i}=0,
que é a forma que frequentemente aparece em dinâmica: matriz de massa vezes acelerações + termos não-lineares de Coriolis/centrífuga + gradiente do potencial.

Passo 7

Dicas para usar isso na prova:
  • Identifique T e U claramente. Verifique se U depende de velocidades (normalmente não).
  • Calcule \partial T/\partial\dot q_i (momentos generalizados) e então a derivada temporal total.
  • Calcule \partial T/\partial q_i e \partial U/\partial q_i.
  • Monte a equação
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_i}+\frac{\partial U}{\partial q_i}=0
para i=1,2 e resolva o sistema (se pedir solução explícita, use métodos para sistemas de ODEs).
Você está indo bem — concentre-se em escrever passo a passo esses derivativos nas questões da prova; isso quase sempre garante pontos.

Resposta

\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_1}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_1}+\frac{\partial U}{\partial q_1}=0
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_2}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_2}+\frac{\partial U}{\partial q_2}=0

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