Questão 3.2 Para um pêndulo simples de massa m e comprimento L, a função Lagrangiana é dada por L(\theta, \dot{\theta})=\frac{1}{2} m L^{2} \dot{\theta}^{2}+m g L \cos (\theta), onde \theta é o ângulo de deslocamento e g é a aceleração devida à gravidade. Determine as equações de Euler-Lagrange para este sistema.

Passo 1

O enunciado dá a função Lagrangiana e pede para determinar as equações de Euler–Lagrange. Informação fornecida (copiando do enunciado de forma organizada):
L(\theta,\dot{\theta})=\frac{1}{2}mL^{2}\dot{\theta}^{2}+m g L \cos(\theta),
onde:
  • \theta é a coordenada generalizada (ângulo de deslocamento);
  • \dot{\theta}=\dfrac{d\theta}{dt} é a velocidade angular;
  • m é a massa do pêndulo (constante);
  • L é o comprimento do pêndulo (constante);
  • g é a aceleração da gravidade (constante).
    Pergunta explícita: determinar as equações de Euler–Lagrange para esse sistema.

Passo 2

Apresentação da fórmula que vamos usar (a ferramenta principal). A equação de Euler–Lagrange para uma coordenada generalizada \theta é:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0.
Explicação didática: \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} é a derivada parcial da Lagrangiana em relação à velocidade \dot{\theta} (trata \theta como constante); em seguida diferenciamos essa quantidade no tempo (isso produz termos com \ddot{\theta}). Já \dfrac{\partial L}{\partial \theta} é a derivada parcial da Lagrangiana em relação à coordenada \theta (trata \dot{\theta} como constante). A equação acima impõe que a diferença entre estas duas coisas seja zero para o movimento real do sistema.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}.
Apenas o termo cinético depende de \dot{\theta}. Derivando \tfrac{1}{2}mL^{2}\dot{\theta}^{2} em relação a \dot{\theta} usamos a regra da potência: a derivada de \dot{\theta}^{2} é 2\dot{\theta}, e o coeficiente \tfrac{1}{2} cancela o 2. Assim obtemos
\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m L^{2} \dot{\theta}.
Comentário: o termo m g L \cos(\theta) não depende de \dot{\theta}, então sua derivada parcial em relação a \dot{\theta} é zero.

Passo 4

Calcular a derivada temporal \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right).
Temos \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m L^{2} \dot{\theta}. Diferenciando em relação a t (tratando m e L como constantes) usamos que \dfrac{d}{dt}\dot{\theta}=\ddot{\theta}. Logo:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)= m L^{2} \ddot{\theta}.
Explicação: isso representa a quantidade análoga ao momento conjugado e sua taxa de variação temporal.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial L}{\partial \theta}.
Apenas o termo potencial m g L \cos(\theta) depende de \theta. A derivada de \cos(\theta) em relação a \theta é -\sin(\theta). Portanto:
\frac{\partial L}{\partial \theta} = - m g L \sin(\theta).
Comentário: o termo cinético não contribui aqui porque não depende de \theta.

Passo 6

Substituir os resultados dos Passos 4 e 5 na equação de Euler–Lagrange apresentada no Passo 2 e simplificar. Depois de substituir, basta isolar e simplificar (notar que m e L são constantes e, se não nulas, podem ser simplificados em ambos os lados da equação). Isso leva à equação de movimento em termos de \theta, \dot{\theta} e \ddot{\theta}.

Passo 7

Interpretação física e linearização (truque útil para prova). A equação completa obtida descreve o movimento não linear do pêndulo. Para pequenas oscilações (ângulos pequenos), podemos aproximar \sin(\theta)\approx \theta (em radianos). Com essa aproximação o sistema se reduz a uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, a qual é a equação do oscilador harmônico simples. Dessa forma identificamos a frequência natural do pêndulo na aproximação de pequeno ângulo.

Resposta

m L^{2}\ddot{\theta}+m g L \sin(\theta)=0
\text{(aproximação de pequeno ângulo)}\quad \ddot{\theta}+\frac{g}{L}\,\theta=0çãâ

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