Questão 3.2 Para um pêndulo simples de massa
e comprimento
, a função Lagrangiana é dada por
, onde
é o ângulo de deslocamento e
é a aceleração devida à gravidade. Determine as equações de Euler-Lagrange para este sistema.
Passo 1
O enunciado dá a função Lagrangiana e pede para determinar as equações de Euler–Lagrange. Informação fornecida (copiando do enunciado de forma organizada):
onde:
-
é a coordenada generalizada (ângulo de deslocamento); -
é a velocidade angular; -
é a massa do pêndulo (constante); -
é o comprimento do pêndulo (constante); -
é a aceleração da gravidade (constante).
Pergunta explícita: determinar as equações de Euler–Lagrange para esse sistema.
Passo 2
Apresentação da fórmula que vamos usar (a ferramenta principal). A equação de Euler–Lagrange para uma coordenada generalizada
é:
Explicação didática:
é a derivada parcial da Lagrangiana em relação à velocidade
(trata
como constante); em seguida diferenciamos essa quantidade no tempo (isso produz termos com
). Já
é a derivada parcial da Lagrangiana em relação à coordenada
(trata
como constante). A equação acima impõe que a diferença entre estas duas coisas seja zero para o movimento real do sistema.
Passo 3
Calcular
.
Apenas o termo cinético depende de . Derivando
em relação a
usamos a regra da potência: a derivada de
é
, e o coeficiente
cancela o
. Assim obtemos
Apenas o termo cinético depende de
Comentário: o termo
não depende de
, então sua derivada parcial em relação a
é zero.
Passo 4
Calcular a derivada temporal
.
Temos . Diferenciando em relação a
(tratando
e
como constantes) usamos que
. Logo:
Temos
Explicação: isso representa a quantidade análoga ao momento conjugado e sua taxa de variação temporal.
Passo 5
Calcular
.
Apenas o termo potencial depende de
. A derivada de
em relação a
é
. Portanto:
Apenas o termo potencial
Comentário: o termo cinético não contribui aqui porque não depende de
.
Passo 6
Substituir os resultados dos Passos 4 e 5 na equação de Euler–Lagrange apresentada no Passo 2 e simplificar. Depois de substituir, basta isolar e simplificar (notar que
e
são constantes e, se não nulas, podem ser simplificados em ambos os lados da equação). Isso leva à equação de movimento em termos de
,
e
.
Passo 7
Interpretação física e linearização (truque útil para prova). A equação completa obtida descreve o movimento não linear do pêndulo. Para pequenas oscilações (ângulos pequenos), podemos aproximar
(em radianos). Com essa aproximação o sistema se reduz a uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, a qual é a equação do oscilador harmônico simples. Dessa forma identificamos a frequência natural do pêndulo na aproximação de pequeno ângulo.