Questão 1: Considere o sistema linear,
(a) É possível garantir a convergência do método iterativo de Gauss-Seidel, quando o aplicamos neste sistema linear? Justifique.
(b) Faça duas iterações do método de Gauss-Seidel, partindo da aproximação inicial
.
(c) Qual a diferença entre os métodos iterativos de Jacobi, Gauss-Seidel e SOR?
(b) Faça duas iterações do método de Gauss-Seidel, partindo da aproximação inicial
(c) Qual a diferença entre os métodos iterativos de Jacobi, Gauss-Seidel e SOR?
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear
e pede:
(a) verificar se podemos garantir convergência do método de Gauss–Seidel;
(b) fazer duas iterações de Gauss–Seidel partindo de ;
(c) explicar a diferença entre Jacobi, Gauss–Seidel e SOR.
Para isso vamos usar teoria de convergência (dominância diagonal e simetria/positividade definida) e as fórmulas de iteração.
(a) verificar se podemos garantir convergência do método de Gauss–Seidel;
(b) fazer duas iterações de Gauss–Seidel partindo de
(c) explicar a diferença entre Jacobi, Gauss–Seidel e SOR.
Para isso vamos usar teoria de convergência (dominância diagonal e simetria/positividade definida) e as fórmulas de iteração.
Passo 2
Para método de Gauss–Seidel a condição clássica de convergência é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante em todas as linhas, ou simétrica definida positiva.
As diagonais e somas de não-diagonais são:
– linha 1: , não domina;
– linha 2: , não domina;
– linha 3: , domina, mas as outras não.
Além disso a matriz não é simétrica. Logo não há garantia de convergência.
As diagonais e somas de não-diagonais são:
– linha 1:
– linha 2:
– linha 3:
Além disso a matriz não é simétrica. Logo não há garantia de convergência.
Passo 3
Reescrevendo cada equação isolando a incógnita
-ésima e usando sempre os valores mais recentes (Gauss–Seidel):
Para
e
:
Passo 4
Agora
usando
:
Passo 5
Diferença entre os métodos:
– Jacobi atualiza todas as componentes usando apenas
(todos os valores da iteração anterior).
– Gauss–Seidel já usa o valor novo assim que é calculado, para acelerar o acúmulo de informação.
– SOR (Successive Over-Relaxation) é um “Gauss–Seidel com peso”: após o cálculo de cada faz-se
– Jacobi atualiza todas as componentes
– Gauss–Seidel já usa o valor novo
– SOR (Successive Over-Relaxation) é um “Gauss–Seidel com peso”: após o cálculo de cada
onde
é o fator de relaxação que, se bem escolhido, acelera a convergência.
Resposta
(a) Não podemos garantir convergência, pois a matriz não é estritamente diagonalmente dominante nem simétrica definida positiva.
(b)
(c) Jacobi usa apenas valores antigos em cada iteração; Gauss–Seidel incorpora imediatamente os valores novos; SOR adiciona um fator de relaxação ao Gauss–Seidel para potencialmente acelerar a convergência.
(b)
(c) Jacobi usa apenas valores antigos em cada iteração; Gauss–Seidel incorpora imediatamente os valores novos; SOR adiciona um fator de relaxação