Questão 1: Considere o sistema linear,
x1+3 x2-x3 & =-2 5 x1+2 x2+2 x3 & =3 6 x2+8 x3 & =-6
(a) É possível garantir a convergência do método iterativo de Gauss-Seidel, quando o aplicamos neste sistema linear? Justifique.
(b) Faça duas iterações do método de Gauss-Seidel, partindo da aproximação inicial x^(0)=(0.7,-1.6,0.6)^T.
(c) Qual a diferença entre os métodos iterativos de Jacobi, Gauss-Seidel e SOR?

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear
x1+3x2-x3&=-2, 5x1+2x2+2x3&=3, 6x2+8x3&=-6,
e pede:
(a) verificar se podemos garantir convergência do método de Gauss–Seidel;
(b) fazer duas iterações de Gauss–Seidel partindo de x^(0)=(0.7,-1.6,0.6)^T;
(c) explicar a diferença entre Jacobi, Gauss–Seidel e SOR.
Para isso vamos usar teoria de convergência (dominância diagonal e simetria/positividade definida) e as fórmulas de iteração.

Passo 2

Para método de Gauss–Seidel a condição clássica de convergência é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante em todas as linhas, ou simétrica definida positiva.
As diagonais e somas de não-diagonais são:
– linha 1: lvert a11rvert=1,;lvert a12rvert+lvert a13rvert=3+1=4, não domina;
– linha 2: lvert a22rvert=2,;lvert a21rvert+lvert a23rvert=5+2=7, não domina;
– linha 3: lvert a33rvert=8,;lvert a31rvert+lvert a32rvert=0+6=6, domina, mas as outras não.
Além disso a matriz não é simétrica. Logo não há garantia de convergência.

Passo 3

Reescrevendo cada equação isolando a incógnita i-ésima e usando sempre os valores mais recentes (Gauss–Seidel):
x1^(k+1)&=-2-3x2^(k)+x3^(k)1, x2^(k+1)&=3-5x1^(k+1)-2x3^(k)2, x3^(k+1)&=-6-6x2^(k+1)8
Para k=0 e x^(0)=(0.7,-1.6,0.6)^T:
x1^(1)&=-2-3(-1.6)+0.6=3.4, x2^(1)&=3-5cdot3.4-2cdot0.62=3-17-1.22=-7.6, x3^(1)&=-6-6(-7.6)8=-6+45.68=4.95

Passo 4

Agora k=1 usando x^(1)=(3.4,-7.6,4.95)^T:
x1^(2)&=-2-3(-7.6)+4.95=25.75, x2^(2)&=3-5cdot25.75-2cdot4.952=3-128.75-9.92=-67.825, x3^(2)&=-6-6(-67.825)8=-6+406.958=50.11875

Passo 5

Diferença entre os métodos:
– Jacobi atualiza todas as componentes xi^(k+1) usando apenas x^(k) (todos os valores da iteração anterior).
– Gauss–Seidel já usa o valor novo xj^(k+1) assim que é calculado, para acelerar o acúmulo de informação.
– SOR (Successive Over-Relaxation) é um “Gauss–Seidel com peso”: após o cálculo de cada xi^(k+1) faz-se
xi^(k+1)(1-omega),xi^(k)+omega,xi^(k+1),
onde omegain(0,2) é o fator de relaxação que, se bem escolhido, acelera a convergência.

Resposta

(a) Não podemos garantir convergência, pois a matriz não é estritamente diagonalmente dominante nem simétrica definida positiva.
(b)
x^(1)=(3.4,,-7.6,,4.95)^T,
x^(2)=(25.75,,-67.825,,50.11875)^T
(c) Jacobi usa apenas valores antigos em cada iteração; Gauss–Seidel incorpora imediatamente os valores novos; SOR adiciona um fator de relaxação omega ao Gauss–Seidel para potencialmente acelerar a convergência.

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