Questão 2: Considere o sistema de equações:
l x1^3-x2=1.5 x1+x2=0.5
(a) Determine F(x) e a matriz Jacobiana associada a este sistema.
(b) Faça uma iteração do método de Newton, partindo de x^0=(0.8,-0.4)^T, para determinar uma aproximação para x1 e x2.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema não linear
x1^3-x2=1.5, x1+x2=0.5,
e pede (a) a definição de F(x) e sua matriz Jacobiana, e (b) uma iteração de Newton partindo de x^0=(0.8,-0.4)^T. Vamos usar o método de Newton para sistemas, cuja fórmula de iteração é
x^k+1 ;=;x^k ;-;[J(x^k)]^-1,F(x^k)

Passo 2

Definimos o vetor
F(x) = x1^3-x2-1.5[6pt] x1+x2-0.5
A matriz Jacobiana J(x) contém as derivadas parciais de F:
J(x) = partialpartial x1l(x1^3-x2-1.5r) & partialpartial x2l(x1^3-x2-1.5r)[8pt] partialpartial x1l(x1+x2-0.5r) & partialpartial x2l(x1+x2-0.5r) = 3x1^2 & -1 1 & 1 ]

Passo 3

Avaliamo F(x^0) e J(x^0) em x^0=(0.8,-0.4)^T:
F(x^0) = (0.8)^3-(-0.4)-1.5[4pt] 0.8+(-0.4)-0.5 = 0.512+0.4-1.5[4pt] 0.8-0.4-0.5 = -0.588[2pt] -0.1 ,
J(x^0) = 3,(0.8)^2 & -1 1 & 1 = 1.92 & -1 1 & 1 ]

Passo 4

No método de Newton resolvemos
J(x^0),De<a x =-F(x^0),
isto é,
1.92 & -1 1 & 1 De<a x1 De<a x2 = 0.588 0.1
Da primeira equação vem De<a x2=1.92,De<a x1-0.588. Substituindo na segunda:
De<a x1+(1.92,De<a x1-0.588)=0.1 Longrightarrow 2.92,De<a x1=0.688 Longrightarrow De<a x1approx0.2356,
De<a x2=1.92cdot0.2356-0.588approx-0.1356

Passo 5

Atualizamos
x^1 =x^0+De<a x = 0.8 -0.4 + 0.2356 -0.1356 = 1.0356 -0.5356

Resposta

A aproximação obtida após uma iteração de Newton é
x1approx1.0356, x2approx-0.5356

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