Questão 2 - Um bloco de 1,0 \mathrm{~kg} está sobre uma superfície horizontal sem atrito e preso a uma mola ideal. Aplica-se uma força horizontal \mathrm{F}=20,0 \mathrm{~N} ao bloco para mantê-lo em repouso a 0,20 \mathrm{~m} de sua posição de equilíbrio ( x=0 ). Cessada a aplicação da força F o bloco executa um movimento harmônico simples. Determine.
a) O período e a frequência do movimento.
b) A aceleração máxima do bloco.
c) A velocidade do bloco ao passar pela primeira vez na posição x=-0,10 m.
d) A energia cinética do bloco em função de sua posição x.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os números do enunciado):
  • Massa do bloco: m=1,0\\ \mathrm{kg}.
  • Força aplicada (constante, horizontal) para mantê-lo em repouso: F=20,0\\ \mathrm{N}.
  • Deslocamento da posição de equilíbrio ao qual o bloco é mantido: x_{\text{inicial}}=+0,20\\ \mathrm{m} (a posição de equilíbrio natural da mola é x=0).
  • Depois que a força F é cessada, o bloco passa a executar um movimento harmônico simples em torno de x=0.
O enunciado pede:
(a) o período T e a frequência f do movimento;
(b) a aceleração máxima do bloco;
(c) a velocidade do bloco ao passar pela primeira vez por x=-0,10\\ \mathrm{m};
(d) a expressão da energia cinética do bloco em função da posição x.

Passo 2

Determinar a constante elástica da mola k.
Quando o bloco é mantido em repouso pela força constante F num deslocamento x_{\text{inicial}}, as forças horizontais se equilibram: a mola exerce uma força elástica igual a k x_{\text{inicial}} na direção contrária. Da condição de equilíbrio estático vale:
F = k\,x_{\text{inicial}}.
Aqui:
  • F é a força aplicada (em \mathrm{N}),
  • k é a constante elástica da mola (em \mathrm{N/m}),
  • x_{\text{inicial}} é o deslocamento estático (em \mathrm{m}).
Logo:
k = \frac{F}{x_{\text{inicial}}} = \frac{20,0}{0,20}\\ \mathrm{N/m}.
Calculando:
k = 100\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Identificar a amplitude e a frequência angular do movimento e justificar a fórmula usada.
No instante da liberação a velocidade inicial é zero e a posição inicial é x(0)=A=+0,20\\ \mathrm{m}. Assim a amplitude do movimento em torno de x=0 é
A=0,20\\ \mathrm{m}.
A equação do movimento do sistema massa-mola (sem atrito e sem forças externas após a liberação) é a equação diferencial
m\ddot{x} + kx = 0,
onde:
  • x(t) é o deslocamento em relação a x=0;
  • \ddot{x} é a aceleração;
  • m é a massa;
  • k é a constante da mola.
A solução dessa equação é um movimento harmônico simples com frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui \omega tem unidade de \mathrm{rad/s}.
Substituindo k=100\\ \mathrm{N/m} e m=1,0\\ \mathrm{kg}:
\omega = \sqrt{\frac{100}{1,0}} = \sqrt{100} = 10\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular o período T e a frequência f.
Relações básicas em MHS (movimento harmônico simples):
T = \frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega=10\\ \mathrm{rad/s}:
T=\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}\\ \mathrm{s}\approx 0,628\\ \mathrm{s},
f=\frac{10}{2\pi}=\frac{5}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 1,592\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Determinar a aceleração máxima do bloco.
Na MHS a aceleração instantânea é \ddot{x} = -\omega^{2}x. A magnitude máxima de \ddot{x} ocorre quando |x|=A, portanto a aceleração máxima em módulo é
a_{\text{max}}=\omega^{2}A.
Explicando as variáveis:
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}),
  • A é a amplitude (em \mathrm{m}),
  • a_{\text{max}} em \mathrm{m/s^{2}}.
Substituindo \omega=10\\ \mathrm{rad/s} e A=0,20\\ \mathrm{m}:
a_{\text{max}} = 10^{2}\times 0,20 = 100\times 0,20 = 20,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Determinar a velocidade quando o bloco passa pela primeira vez por x=-0,10\\ \mathrm{m}.
Duas abordagens equivalentes; vou usar conservação de energia (quem prefere solução com as soluções trigonométricas pode fazer parecido).
Energia mecânica total (conservada, sem atrito) = energia potencial elástica máxima + energia cinética máxima:
E = \frac{1}{2}kA^{2}.
Num instante em que o bloco está na posição x, a energia potencial é \dfrac{1}{2}k x^{2} e a energia cinética é K=\dfrac{1}{2}m v^{2}. Assim:
\frac{1}{2}m v^{2} = \frac{1}{2}k(A^{2}-x^{2}).
Isolando v^{2}:
v^{2} = \frac{k}{m}\,(A^{2}-x^{2}) = \omega^{2}(A^{2}-x^{2}).
Portanto
v = \pm \omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}.
O sinal depende da direção do movimento. Como o bloco parte de x=+0,20\\ \mathrm{m} com velocidade inicial zero, ele inicia movendo-se para a esquerda (velocidade negativa). Ao passar por x=-0,10\\ \mathrm{m} pela primeira vez a velocidade será negativa.
Agora calcule numericamente. Com \omega=10\\ \mathrm{rad/s}, A=0,20\\ \mathrm{m} e x=-0,10\\ \mathrm{m}:
A^{2}-x^{2}= (0,20)^{2} - (-0,10)^{2} = 0,040 - 0,010 = 0,030\\ (\mathrm{m^{2}}).
v = -\,10\sqrt{0,030} = -10\times 0,173205\ldots \approx -1,732\\ \mathrm{m/s}.
(O sinal negativo indica que o bloco se desloca para a esquerda ao passar por essa posição.)

Passo 7

Determinar a energia cinética do bloco em função de x.
A partir da expressão usada no passo anterior:
K(x) = \frac{1}{2}m v^{2} = \frac{1}{2}k\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr).
Também pode ser escrita usando \omega:
K(x) = \frac{1}{2}m\omega^{2}\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr).
Aqui:
  • K(x) é a energia cinética quando o bloco está na posição x;
  • A=0,20\\ \mathrm{m}, k=100\\ \mathrm{N/m}, m=1,0\\ \mathrm{kg}, \omega=10\\ \mathrm{rad/s}.
Se quiser a forma numérica usar k=100:
K(x)=\frac{1}{2}\times100\bigl(0,20^{2}-x^{2}\bigr)=50\bigl(0,04-x^{2}\bigr)=2,0 - 50x^{2}\\ \text{(unidade J)},
mas atenção: nessa última linha x deve estar em metros e o resultado em joules. (Essa forma numérica é útil para cálculo direto.)

Resposta

(a) T=\dfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{s}\approx 0,628\\ \mathrm{s}, \;f=\dfrac{5}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 1,592\\ \mathrm{Hz}.
(b) a_{\text{max}}=20,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(c) v\bigl(x=-0,10\\ \mathrm{m}\bigr)\approx -1,732\\ \mathrm{m/s}.
(d) K(x)=\dfrac{1}{2}k\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr)=\dfrac{1}{2}m\omega^{2}\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr) (numericamente K(x)=50\,(0,04-x^{2})\\ \mathrm{J}).

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