Questão 2 - Um bloco de
está sobre uma superfície horizontal sem atrito e preso a uma mola ideal. Aplica-se uma força horizontal
ao bloco para mantê-lo em repouso a
de sua posição de equilíbrio (
). Cessada a aplicação da força
o bloco executa um movimento harmônico simples. Determine.
a) O período e a frequência do movimento.
b) A aceleração máxima do bloco.
c) A velocidade do bloco ao passar pela primeira vez na posição
.
d) A energia cinética do bloco em função de sua posição
.
a) O período e a frequência do movimento.
b) A aceleração máxima do bloco.
c) A velocidade do bloco ao passar pela primeira vez na posição
d) A energia cinética do bloco em função de sua posição
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os números do enunciado):
- Massa do bloco:
. - Força aplicada (constante, horizontal) para mantê-lo em repouso:
. - Deslocamento da posição de equilíbrio ao qual o bloco é mantido:
(a posição de equilíbrio natural da mola é ). - Depois que a força
é cessada, o bloco passa a executar um movimento harmônico simples em torno de .
O enunciado pede:
(a) o período e a frequência
do movimento;
(b) a aceleração máxima do bloco;
(c) a velocidade do bloco ao passar pela primeira vez por ;
(d) a expressão da energia cinética do bloco em função da posição .
(a) o período
(b) a aceleração máxima do bloco;
(c) a velocidade do bloco ao passar pela primeira vez por
(d) a expressão da energia cinética do bloco em função da posição
Passo 2
Determinar a constante elástica da mola
.
Quando o bloco é mantido em repouso pela força constante
num deslocamento
, as forças horizontais se equilibram: a mola exerce uma força elástica igual a
na direção contrária. Da condição de equilíbrio estático vale:
Aqui:
-
é a força aplicada (em ), -
é a constante elástica da mola (em ), -
é o deslocamento estático (em ).
Logo:
Calculando:
Passo 3
Identificar a amplitude e a frequência angular do movimento e justificar a fórmula usada.
No instante da liberação a velocidade inicial é zero e a posição inicial é
. Assim a amplitude do movimento em torno de
é
A equação do movimento do sistema massa-mola (sem atrito e sem forças externas após a liberação) é a equação diferencial
onde:
-
é o deslocamento em relação a ; -
é a aceleração; -
é a massa; -
é a constante da mola.
A solução dessa equação é um movimento harmônico simples com frequência angular
Aqui
tem unidade de
.
Substituindo
e
:
Passo 4
Calcular o período
e a frequência
.
Relações básicas em MHS (movimento harmônico simples):
Substituindo
:
Passo 5
Determinar a aceleração máxima do bloco.
Na MHS a aceleração instantânea é
. A magnitude máxima de
ocorre quando
, portanto a aceleração máxima em módulo é
Explicando as variáveis:
-
é a frequência angular (em ), -
é a amplitude (em ), -
em .
Substituindo
e
:
Passo 6
Determinar a velocidade quando o bloco passa pela primeira vez por
.
Duas abordagens equivalentes; vou usar conservação de energia (quem prefere solução com as soluções trigonométricas pode fazer parecido).
Energia mecânica total (conservada, sem atrito) = energia potencial elástica máxima + energia cinética máxima:
Num instante em que o bloco está na posição
, a energia potencial é
e a energia cinética é
. Assim:
Isolando
:
Portanto
O sinal depende da direção do movimento. Como o bloco parte de
com velocidade inicial zero, ele inicia movendo-se para a esquerda (velocidade negativa). Ao passar por
pela primeira vez a velocidade será negativa.
Agora calcule numericamente. Com
,
e
:
(O sinal negativo indica que o bloco se desloca para a esquerda ao passar por essa posição.)
Passo 7
Determinar a energia cinética do bloco em função de
.
A partir da expressão usada no passo anterior:
Também pode ser escrita usando
:
Aqui:
-
é a energia cinética quando o bloco está na posição ; -
, , , .
Se quiser a forma numérica usar
:
mas atenção: nessa última linha
deve estar em metros e o resultado em joules. (Essa forma numérica é útil para cálculo direto.)
Resposta
(a)
,
(b)
(c)
(d) (numericamente
).
(b)
(c)
(d)