Suponha que a função f seja 2 pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 pi, 2 pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x= pm pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(l) f(x)=lx,-pi / 2<x<pi / 2 0, pi / 2<x<3 pi / 2

Passo 1

O enunciado define uma função
e pede:
  1. Esboçar .
  2. Calcular os limites laterais em e em .
  3. Determinar a série de Fourier de .
Conteúdo: séries de Fourier de função periódica, limites laterais em pontos de descontinuidade e esboço de gráfico por periodicidade.

Passo 2

Para esboçar f em [-2pi,2pi] note que num período de comprimento 2pi a função vale x numa faixa central de largura pi (de -tfracpi2 a tfracpi2) e vale zero no restante (de tfracpi2 a tfrac3pi2).
  • Sobre [-2pi,-tfrac3pi2] e [- tfrac3pi2,-tfracpi2] replique por periodicidade os mesmos dois trechos, apenas deslocados em -2pi.
  • De modo análogo sobre [tfrac3pi2,2pi].
    O gráfico resulta numa “onda” quadrada entre tfracpi2 e tfrac3pi2 (valor zero) e numa reta de inclinação 1 entre -tfracpi2 e tfracpi2, repetida a cada 2pi.

Passo 3

Calculemos os limites laterais nos pontos de quebra:
  • Em x=0, estamos dentro do trecho -tfracpi2<x<tfracpi2 onde f(x)=x. Logo
limxto0^-f(x)=0, limxto0^+f(x)=0
  • Em x=tfracpi2, vindo da esquerda f(x)=x
    limxto(pi/2)^-f(x)=tfracpi2, e vindo da direita f(x)=0 em tfracpi2<x<tfrac3pi2
    limxto(pi/2)^+f(x)=0.
  • Em x=-tfracpi2, por periodicidade o trecho logo à esquerda é equivalente ao de zero: vale 0. Ou seja
    limxto(-pi/2)^-f(x)=0. Vindo da direita ainda estamos em -tfracpi2<x<tfracpi2 com f(x)=x, logo
    limxto(-pi/2)^+f(x)=-tfracpi2.

Passo 4

Para a série de Fourier em [-,pi,pi] note que em |x|<tfracpi2 temos f(x)=x e em tfracpi2<|x|<=pi temos f(x)=0. Como f não é nem par nem ímpar sobre o período inteiro, teremos apenas soma de senos (pois os coeficientes an se anulam: xcos(nx) é ímpar).
Calculemos
bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx =1piintegral-tfracpi2^tfracpi2xsin(nx),dx
Por simetria da função xsin(nx) (é par),
bn=2piintegral0^tfracpi2xsin(nx),dx
Integramos por partes:
integral0^tfracpi2xsin(nx),dx =-xcos(nx)n|0^tfracpi2 +1nintegral0^tfracpi2cos(nx),dx =-pi2ncos!l(ntfracpi2r) +1n^2sin!l(ntfracpi2r)
Logo
bn =2pil[ -pi2ncos!l(ntfracpi2r) +1n^2sin!l(ntfracpi2r) r] =-1ncos!l(ntfracpi2r) +2pi n^2sin!l(ntfracpi2r)
E a0=0. Assim a série de Fourier é
f(x)=sumn=1^inftybnsin(nx)
com
bn= (-1)^k+1/(2k),&n=2k, 2(-1)^,k-1/l(pi(2k-1)^2r),&n=2k-1

Resposta

  1. Gráfico: reta y=x em cada intervalo l(2mpi-tfracpi2,,2mpi+tfracpi2r) e zero em cada l(2mpi+tfracpi2,,2mpi+tfrac3pi2r), minZ, repetido.
  2. Limites laterais:
    limxto0^pmf(x)=0,
    limxto(pmpi/2)^-f(x)=0,
    limxto(pi/2)^+f(x)=0,
    limxto(-pi/2)^+f(x)=-tfracpi2.
  3. Série de Fourier:
f(x)=sumn=1^inftyl[ -tfrac1ncos!l(ntfracpi2r) +tfrac2pi n^2sin!l(ntfracpi2r) r]sin(nx),
com as fórmulas fechadas para bn conforme n par ou ímpar acima.

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