Suponha que a função seja -periódica. Esboce seu gráfico no intervalo , calcule seus limites laterais nos pontos e , por fim, encontre sua série de Fourier:
(l)
Passo 1
O enunciado define uma função
e pede:
Esboçar .
Calcular os limites laterais em e em .
Determinar a série de Fourier de .
Conteúdo: séries de Fourier de função periódica, limites laterais em pontos de descontinuidade e esboço de gráfico por periodicidade.
Passo 2
Para esboçar f em [-2pi,2pi] note que num período de comprimento 2pi a função vale x numa faixa central de largura pi (de -tfracpi2 a tfracpi2) e vale zero no restante (de tfracpi2 a tfrac3pi2).
Sobre [-2pi,-tfrac3pi2] e [- tfrac3pi2,-tfracpi2] replique por periodicidade os mesmos dois trechos, apenas deslocados em -2pi.
De modo análogo sobre [tfrac3pi2,2pi].
O gráfico resulta numa “onda” quadrada entre tfracpi2 e tfrac3pi2 (valor zero) e numa reta de inclinação 1 entre -tfracpi2 e tfracpi2, repetida a cada 2pi.
Passo 3
Calculemos os limites laterais nos pontos de quebra:
Em x=0, estamos dentro do trecho -tfracpi2<x<tfracpi2 onde f(x)=x. Logo
limxto0^-f(x)=0, limxto0^+f(x)=0
Em x=tfracpi2, vindo da esquerda f(x)=x dá limxto(pi/2)^-f(x)=tfracpi2, e vindo da direita f(x)=0 em tfracpi2<x<tfrac3pi2 dá limxto(pi/2)^+f(x)=0.
Em x=-tfracpi2, por periodicidade o trecho logo à esquerda é equivalente ao de zero: vale 0. Ou seja limxto(-pi/2)^-f(x)=0. Vindo da direita ainda estamos em -tfracpi2<x<tfracpi2 com f(x)=x, logo limxto(-pi/2)^+f(x)=-tfracpi2.
Passo 4
Para a série de Fourier em [-,pi,pi] note que em |x|<tfracpi2 temos f(x)=x e em tfracpi2<|x|<=pi temos f(x)=0. Como f não é nem par nem ímpar sobre o período inteiro, teremos apenas soma de senos (pois os coeficientes an se anulam: xcos(nx) é ímpar).
Calculemos