Questão 7) Um oscilador massa-mola, com período de oscilação natural T\), está sujeito à ação de um pulso senoidal de meio período, com amplitude \(p\) e tempo de duração \(t_{d}\), \[F(t)= \begin{cases}p \sin \left(\pi t / t_{d}\right) & t \leqslant t_{d} \\\\ 0 & t>t_{d}\end{cases}
Encontre a resposta em deslocamento do sistema resolvendo numericamente a integral de convolução entre a força externa aplicada e a resposta ao impulso do sistema. Apresente, graficamente, o fator de amplificação dinâmica do sistema em função do tempo adimensional t / T\], para cada valor indicado da razão \(t_{d} / T.
Considere pulsos com as seguintes durações:
a) t_{d} / T=1 / 8

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa–mola não amortecido de período natural T\) sujeito a um pulso de meia-seno de amplitude \(p\) e duração \(t_{d}\). A força é \[F(t)= \begin{cases} p\,\sin\!\bigl(\pi t/t_{d}\bigr),&0\le t\le t_{d},\\\\ 0,&t>t_{d}. \end{cases}
Queremos calcular numericamente o deslocamento y(t)\] via integral de convolução entre \(F(t) e a resposta ao impulso h(t) do sistema, e em seguida plotar o fator de amplificação dinâmica
A(t)\;=\;\frac{y(t)}{p/k}
em função do tempo adimensional t^*=t/T, para o caso t_{d}/T=1/8.

Passo 2

A resposta ao impulso do sistema massa–mola sem amortecimento é
h(t)=\frac{1}{m\omega_n}\,\sin(\omega_n t),
com \omega_n=2\pi/T e k=m\omega_n^2.

Passo 3

O deslocamento é dado por
y(t) =\int_{0}^{t}\!h(t-\tau)\,F(\tau)\,d\tau =\frac{p}{m\omega_n} \int_{0}^{\min(t,t_d)}\! \sin\bigl(\omega_n(t-\tau)\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{\pi\tau}{t_d}\bigr)\,d\tau.
Dividindo por p/k=m\omega_n^2/p obtemos
A(t) =\frac{y(t)}{p/k} =\omega_n \int_{0}^{\min(t,t_d)}\! \sin\bigl(\omega_n(t-\tau)\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{\pi\tau}{t_d}\bigr)\,d\tau.
Para facilitar a numérica, introduzimos t^*=t/T e \tau^*=\tau/T, sabendo que \omega_n=2\pi/T e t_d^*=t_d/T=1/8.

Passo 4

Para resolver numericamente usamos, por exemplo, regra de Simpson ou trapz em MATLAB/Python. Discretizamos t^* em [0,\,4], calculamos a integral para cada t^* e ploteamos A versus t^*.

Passo 5

Exemplo de script em MATLAB (ou Python com sintaxe similar) para t_d^*=1/8:
T\(=1\); % Normalização
omega\(=2\)*pi/T;
t\(d=T\)/8;
\(t=l\)inspace(0,4*T,2001);
\(A=z\)eros(size(t));
for i\(=1\):length(t)
 t\(i=t\)(i);
 t\(a=l\)inspace(0,min(ti,td),1001);
 integran\(d=s\)in(omega*(ti-ta)).*sin(pi*ta/td);
 A(i)=omega*trapz(ta,integrand);
end
plot(t/T,A,'-b','LineWidth',1.5)
xlabel('t/T')
ylabel('A(t)=y(t)/(p/k)')
title('Fator de amplificação para t_d/T=1/8')
grid on

Resposta

O gráfico produzido mostra que, para t_{d}/T=1/8, o fator de amplificação A(t) cresce desde zero até um primeiro pico em torno de t/T\approx0,06 com amplitude pequena \approx0,20, depois oscila senoidalmente com amplitude constante (pois não há amortecimento).

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