Questão 7) Um oscilador massa-mola, com período de oscilação natural
Encontre a resposta em deslocamento do sistema resolvendo numericamente a integral de convolução entre a força externa aplicada e a resposta ao impulso do sistema. Apresente, graficamente, o fator de amplificação dinâmica do sistema em função do tempo adimensional
.
Considere pulsos com as seguintes durações:
a)
a)
Passo 1
O enunciado descreve um oscilador massa–mola não amortecido de período natural
Queremos calcular numericamente o deslocamento
e a resposta ao impulso
do sistema, e em seguida plotar o fator de amplificação dinâmica
em função do tempo adimensional
, para o caso
.
Passo 2
A resposta ao impulso do sistema massa–mola sem amortecimento é
com
e
.
Passo 3
O deslocamento é dado por
Dividindo por
obtemos
Para facilitar a numérica, introduzimos
e
, sabendo que
e
.
Passo 4
Para resolver numericamente usamos, por exemplo, regra de Simpson ou em
, calculamos a integral para cada
e ploteamos
versus
.
trapz em MATLAB/Python. Discretizamos
Passo 5
Exemplo de script em MATLAB (ou Python com sintaxe similar) para
:
T\(=1\); % Normalização
omega\(=2\)*pi/T;
t\(d=T\)/8;
\(t=l\)inspace(0,4*T,2001);
\(A=z\)eros(size(t));
for i\(=1\):length(t)
t\(i=t\)(i);
t\(a=l\)inspace(0,min(ti,td),1001);
integran\(d=s\)in(omega*(ti-ta)).*sin(pi*ta/td);
A(i)=omega*trapz(ta,integrand);
end
plot(t/T,A,'-b','LineWidth',1.5)
xlabel('t/T')
ylabel('A(t)=y(t)/(p/k)')
title('Fator de amplificação para t_d/T=1/8')
grid on
Resposta
O gráfico produzido mostra que, para
, o fator de amplificação
cresce desde zero até um primeiro pico em torno de
com amplitude pequena
, depois oscila senoidalmente com amplitude constante (pois não há amortecimento).