Questão 6. (2,5) Considere um sistema massa mola vertical em equilíbrio. Dessa forma pode-se encontrar o valor da constante elástica k a partir do equilíbrio segundo a expressão:
k=\frac{m g}{x}
em que m é a massa do corpo, g a aceleração da gravidade e x a distensão da mola. Após determinado o valor de k, os estudantes mergulham o sistema massa mola em um tubo de ensaio com água de modo que toda a massa m fique submersa. Nessas condições, o equilíbrio é causado por:
m g=m_{f} g+k x^{\prime}
em que m_{f} é a massa do fluido deslocado e x^{\prime} é a distensão da mola no sistema em que a massa está submersa. OBS: x^{\prime}<x.
Com manipulações matemáticas, mostra-se que a densidade do corpo submerso é calculada por:
\rho=\frac{\rho_{f} V g+k x^{\prime}}{V g}
em que \rho é a densidade do objeto de massa m que está submerso, \rho_{f} é a densidade do fluido (água) e V é o volume de fluido deslocado causado pela inserção da massa na água. Chamaremos o método acima de cálculo teórico para a densidade de m.
Pode-se ainda calcular a densidade de objetos por meio da expressão:
\rho=\frac{m}{V}
em que m é a massa do objeto e V seu volume. Chamaremos este cálculo para a densidade de experimental.
A tabela abaixo mostra as quantidades coletadas via experimento para as equações acima:
Massa (\mathrm{g}) x(\mathrm{~cm}) x^{\prime}(\mathrm{cm}) V(\mathrm{~mL})
(72,44 \pm 0,01) (7,30 \pm 0,05) (6,30 \pm 0,05) (8 \pm 1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
"JÚLIO DE MESQUITA FILHO"
Campus de Ilha Solteira
Departamento de Física e Química

Questões para Prova 2

Disciplina: Laboratório de física II
Professor: Me. Lucas da Silveira Buzo

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa-mola vertical em equilíbrio e pede para calcular a densidade de um corpo de duas formas:
1. pelo “método teórico”, usando a força de empuxo (Princípio de Arquimedes) e a Lei de Hooke, com a fórmula
\rho = \frac{\rho_f V g + k\,x'}{V g}
2. pelo “método experimental”, direto de \rho = m/V.
Os dados fornecidos são m, x, x' e V, e vamos precisar das constantes g (gravidade) e \rho_f (densidade da água).

Passo 2

Convertendo tudo para SI:
m = 72{,}44\\ \text{g} = 0{,}07244\\ \text{kg}, \quad x = 7{,}30\\ \text{cm} = 0{,}0730\\ \text{m}, \quad x' = 6{,}30\\ \text{cm} = 0{,}0630\\ \text{m}, \quad V = 8\\ \text{mL} = 8\times10^{-6}\\ \text{m}^3.
Adotamos g=9{,}8\\ \text{m/s}^2 e \rho_f=1000\\ \text{kg/m}^3.

Passo 3

Pela Lei de Hooke em ar,
k = \frac{m\,g}{x} = \frac{0{,}07244\times9{,}8}{0{,}0730} \approx 9{,}72\\ \text{N/m}.

Passo 4

Aplicando a fórmula teórica da densidade submersa,
\rho_{\rm teórico} = \frac{\rho_f\,V\,g + k\,x'}{V\,g} = \frac{1000\cdot(8\times10^{-6})\cdot9{,}8 \;+\; 9{,}72\cdot0{,}0630}{(8\times10^{-6})\cdot9{,}8} \approx 8{,}82\times10^{3}\\ \text{kg/m}^3.ó

Passo 5

Pelo método experimental,
\rho_{\rm exp} = \frac{m}{V} = \frac{0{,}07244}{8\times10^{-6}} \approx 9{,}06\times10^{3}\\ \text{kg/m}^3.

Passo 6

Comparando, vemos que
\rho_{\rm teórico}\approx8{,}82\times10^3\\ \text{kg/m}^3ó
e
\rho_{\rm exp}\approx9{,}06\times10^3\\ \text{kg/m}^3.
A diferença relativa é
\frac{\rho_{\rm exp}-\rho_{\rm teórico}}{\rho_{\rm exp}}\times100\%\approx2{,}7\%.ó

Resposta

\rho_{\rm teórico}\approx8{,}82\times10{3} \text{kg/m}3
\rho_{\rm exp}\approx9{,}06\times10{3} \text{kg/m}3

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