Questão 2. (2,5) Para determinar a constante elástica k da mola descrita no problema anterior, estudantes realizaram um experimento no qual uma massa m foi suspensa em um sistema vertical. O experimento foi conduzido até que o equilíbrio entre a força elástica e a força gravitacional fosse alcançado. A massa utilizada m foi de (40,00 \pm 0,01) g, a distensão da mola x foi de (3,00 \pm 0,05) x 10^{-2} \mathrm{~m}. Adotando g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, calcule o valor da constante k da mola, assim como o erro associado ao cálculo.
Após o cálculo de k, o mesmo grupo de estudantes utilizou uma massa M em um sistema horizontal ligados pela mesma mola. A tabela abaixo mostra os dados retirados para as oscilações:
Massa M(g) 10 T(s)
(130,00 \pm 0,01) (7,10 \pm 0,01)
A partir dos dados da tabela anterior, calcule o valor da frequência experimental dada por:
f_{e x p}=\frac{1}{T}
E a frequência teórica:
f_{\text {teó }}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{M}}ó

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA"JÚLIO DE MESQUITA FILHO"Campus de Ilha SolteiraDepartamento de Física e Química

Questões para Prova 2

Disciplina: Laboratório de física II
Professor: Me. Lucas da Silveira Buzo
Calcule o erro associado a cada medida de f e compare os resultados via erro percentual.

Passo 1

O enunciado pede primeiro para determinar a constante elástica k de uma mola usando o equilíbrio entre a força elástica e o peso de uma massa suspensa verticalmente. Em seguida, com essa mesma mola e uma massa num sistema horizontal, devemos calcular a frequência experimental
f_{\mathrm{exp}} = \frac{1}{T}
e a frequência teórica
f_{\mathrm{teó}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}ó
incluindo as incertezas em cada medida e comparando os resultados via erro percentual.

Passo 2

Para achar k usamos a condição de equilíbrio \,mg=kx. Convertendo unidades:
m = (40{,}00\pm0{,}01)\,\mathrm{g} = (0{,}04000\pm0{,}00001)\,\mathrm{kg}, \quad x = (3{,}00\pm0{,}05)\times10^{-2}\,\mathrm{m} = (0{,}0300\pm0{,}0005)\,\mathrm{m},
e adotando g=9,8\,\mathrm{m/s^2}. O valor central de k é
k = \frac{m\,g}{x} = \frac{0{,}04000\times9,8}{0{,}0300} = 13{,}07\;\mathrm{N/m}.

Passo 3

A incerteza relativa de k vem de \,m e de x, pois g é exato. Usamos
\frac{\Delta k}{k} =\sqrt{\Bigl(\frac{\Delta m}{m}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\Delta x}{x}\Bigr)^2} =\sqrt{\Bigl(\frac{0{,}00001}{0{,}04000}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{0{,}0005}{0{,}0300}\Bigr)^2} \approx0{,}01667\quad(1{,}667\%).
Logo
\Delta k = 0{,}01667\times13{,}07 \approx 0{,}22\;\mathrm{N/m},
isto é,
k = (13{,}07\pm0{,}22)\;\mathrm{N/m}.

Passo 4

No experimento horizontal temos
M=(130{,}00\pm0{,}01)\,\mathrm{g}=(0{,}13000\pm0{,}00001)\,\mathrm{kg}, \quad 10T=(7{,}10\pm0{,}01)\,\mathrm{s},
portanto
T = \frac{7{,}10}{10}=(0{,}710\pm0{,}001)\,\mathrm{s}.
A frequência experimental é
f_{\mathrm{exp}} = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}710} \approx1{,}408\;\mathrm{Hz}.

Passo 5

Para \Delta f_{\mathrm{exp}} usamos
\Delta f_{\mathrm{exp}} =\Bigl|\frac{d}{dT}\bigl(T^{-1}\bigr)\Bigr|\Delta T =\frac{\Delta T}{T^2} =\frac{0{,}001}{(0{,}710)^2} \approx0{,}002\;\mathrm{Hz},
então
f_{\mathrm{exp}} = (1{,}408\pm0{,}002)\;\mathrm{Hz}.

Passo 6

A frequência teórica é
f_{\mathrm{teó}} =\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}} =\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{13{,}07}{0{,}13000}} \approx1{,}596\;\mathrm{Hz}.ó

Passo 7

A incerteza de f_{\mathrm{teó}}ó segue de k e M, já que
\,f\propto k^{1/2}M^{-1/2}. Assim
\frac{\Delta f_{\mathrm{teó}}}{f_{\mathrm{teó}}} =\sqrt{\Bigl(\tfrac12\frac{\Delta k}{k}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac12\frac{\Delta M}{M}\Bigr)^2} =\sqrt{\Bigl(0{,}5\times0{,}01667\Bigr)^2 + \Bigl(0{,}5\times\frac{0{,}00001}{0{,}13000}\Bigr)^2} \approx0{,}00833\;(0{,}833\%).óó
Logo
\Delta f_{\mathrm{teó}} = 0{,}00833\times1{,}596 \approx0{,}013\;\mathrm{Hz},ó
isto é,
f_{\mathrm{teó}} = (1{,}596\pm0{,}013)\;\mathrm{Hz}.ó

Passo 8

Comparando experimental e teórico via erro percentual:
\text{Erro percentual} =\frac{\bigl|f_{\mathrm{teó}}-f_{\mathrm{exp}}\bigr|}{f_{\mathrm{teó}}}\times100\% =\frac{|1{,}596-1{,}408|}{1{,}596}\times100\% \approx11{,}7\%.óó

Resposta

k = (13{,}07\pm0{,}22)\;\mathrm{N/m}
f_{\mathrm{exp}} = (1{,}408\pm0{,}002)\;\mathrm{Hz}
f_{\mathrm{teó}} = (1{,}596\pm0{,}013)\;\mathrm{Hz}ó
Erro percentual entre f_{\mathrm{exp}} e f_{\mathrm{teó}}\approx11{,}7\%ó.

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