Um sistema massa mola obedece ao MHS com massa de 1 kg e \mathrm{T}=3,14 \mathrm{~s}.
Em t=0 s a sua posição é x=0,5 \mathrm{~cm} e a sua velocidade v=-1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Nestas condições:
a) Faça a representação do sistema massa mola para \mathrm{t}=0 \mathrm{~s}.
b) Escreva a equação horária x(t)=A \cos (\omega t+\varphi) obtendo as quantidades A, \omega e \varphi.
c) Escreva a equação da velocidade e da aceleração em função do tempo para as condições do problema.
d) Faça os gráficos de x(t) versus t, v(t) versus t, a(t) versus t detalhando os valores nos eixos considerados.

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola em MHS com as seguintes informações (vou listar tudo e já converter as unidades para o SI, assim não nos enrolamos nas contas):
\text{massa } m = 1\\ \mathrm{kg}
\text{período } T = 3,14\\ \mathrm{s}í
\text{posição em } t=0:\quad x(0)=0,5\\ \mathrm{cm}=0,005\\ \mathrm{m}çã
\text{velocidade em } t=0:\quad v(0)=-1\\ \mathrm{cm/s}=-0,01\\ \mathrm{m/s}
As perguntas são:
a) Fazer a representação do sistema massa-mola para t=0\\ \mathrm{s} (ou seja, onde está a massa em relação ao ponto de equilíbrio e qual a direção do movimento).
b) Escrever a equação horária x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), obtendo A, \omega e \varphi.
c) Escrever as equações de velocidade v(t) e aceleração a(t) para essas condições.
d) Fazer os gráficos de x(t) versus t, v(t) versus t e a(t) versus t, detalhando os valores nos eixos (vou indicar intervalos, ticks e alguns pontos importantes para desenhar).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando devagar, como numa aulinha rápida):
  • A solução geral do MHS para deslocamento é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (máximo deslocamento em relação ao equilíbrio),
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}),
  • \varphi é a fase inicial (em radianos), que define onde a oscilação começa no círculo trigonométrico.
  • A relação entre período T e frequência angular \omega é
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Explicação física: em uma oscilação completa o argumento \omega t varia de 0 a 2\pi, e leva um tempo T; daí \omega T=2\pi.
  • A velocidade é a derivada de x(t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • A aceleração é a derivada de v(t) (ou segunda de x):
a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)=-\omega^2 x(t).
Observação: -\omega^2 x mostra porque é um movimento harmônico: a aceleração aponta sempre para o centro e é proporcional ao deslocamento.

Passo 3

Calcular \omega a partir de T. Usamos \omega=2\pi/T:
\omega=\frac{2\pi}{3,14}\approx\frac{6,283185}{3,14}=2\\ \mathrm{rad/s}.
Ou seja, \omega=2\\ \mathrm{rad/s} (número arredondado que, aqui, fica exato dentro da precisão do enunciado).

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para achar A e \varphi. Em t=0:
x(0)=A\cos\varphi=0,005\\ \mathrm{m},
v(0)=-A\omega\sin\varphi=-0,01\\ \mathrm{m/s}.
Substituindo \omega=2:
A\cos\varphi=0,005,
-2A\sin\varphi=-0,01\quad\Rightarrow\quad 2A\sin\varphi=0,01\quad\Rightarrow\quad A\sin\varphi=0,005.
Agora temos o par
A\cos\varphi=0,005,\qquad A\sin\varphi=0,005.
Ele é bem prático: somando os quadrados (identidade pitagórica \cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1):
A^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=0,005^2+0,005^2=2\cdot(0,005)^2=2\cdot25\cdot10^{-6}=50\cdot10^{-6}=5\cdot10^{-5}.
Assim
A^2=5\cdot10^{-5}\quad\Rightarrow\quad A=\sqrt{5\cdot10^{-5}}.
Calcule a raiz:
A\approx0,0070711\\ \mathrm{m}=0,70711\\ \mathrm{cm}.
Para \varphi usamos \tan\varphi=(A\sin\varphi)/(A\cos\varphi)=0,005/0,005=1. Como ambos \cos\varphi e \sin\varphi são positivos (veja que A\cos\varphi=0,005>0 e A\sin\varphi=0,005>0), \varphi está no primeiro quadrante. Logo
\varphi=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}\approx0,7854\\ \mathrm{rad}.
Resumo numérico: A\approx0,0070711\\ \mathrm{m} (ou 0,70711\\ \mathrm{cm}), \omega=2\\ \mathrm{rad/s}, \varphi=\pi/4.

Passo 5

Escrever a equação horária com os números obtidos e conferir a consistência com as condições iniciais (teste rápido):
Colocando tudo:
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)=0,0070711\cos(2t+\tfrac{\pi}{4})\\ \mathrm{m}.
Teste em t=0:
x(0)=0,0070711\cos(\tfrac{\pi}{4})=0,0070711\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=0,005\\ \mathrm{m},
que é 0,5\\ \mathrm{cm} como dado. Para a velocidade:
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)=-0,0141422\sin(2t+\tfrac{\pi}{4})\\ \mathrm{m/s}.
Em t=0:
v(0)=-0,0141422\sin(\tfrac{\pi}{4})=-0,0141422\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-0,01\\ \mathrm{m/s},
que é -1\\ \mathrm{cm/s}, conforme dado. Está tudo consistente.

Passo 6

Escrever a aceleração explicitamente e relacionar com x(t):
a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)=-0,0282844\cos(2t+\tfrac{\pi}{4})\\ \mathrm{m/s^2}.
Também vale a forma compacta
a(t)=-\omega^2 x(t)=-4\,x(t).
Observação física: a constante elástica do sistema (se for pedida) seria k=m\omega^2=1\cdot4=4\\ \mathrm{N/m}.

Passo 7

Preparar os gráficos pedindo os pontos importantes e instruções de escala (vou dar valores numéricos em centímetros e cm/s para facilitar o desenho manual):
Constantes úteis em unidades centimétricas:
A=0,70711\\ \mathrm{cm},\qquad A\omega=1,41421\\ \mathrm{cm/s},\qquad A\omega^2=2,82843\\ \mathrm{cm/s^2}.
Período T=3,14\\ \mathrm{s}. Algumas posições de interesse e seus tempos (úteis para marcar no gráfico de t=0 até t=T):
  • t_0=0: x=0,5\\ \mathrm{cm}, v=-1\\ \mathrm{cm/s}, a=-2\\ \mathrm{cm/s^2}.
  • t_1=\dfrac{\pi}{8}\approx0,3927\\ \mathrm{s}: argumento \omega t_1+\varphi=\dfrac{\pi}{2} então x=0\\ \mathrm{cm}, v=-1,41421\\ \mathrm{cm/s}, a=0.
  • t_2=\dfrac{\pi}{4}\approx0,7854\\ \mathrm{s}: argumento 3\pi/4 então x=-0,5\\ \mathrm{cm}, v=-1,0\\ \mathrm{cm/s}, a=2,0\\ \mathrm{cm/s^2}.
  • t_3=\dfrac{3\pi}{8}\approx1,1781\\ \mathrm{s}: argumento \pi então x=-0,70711\\ \mathrm{cm}, v=0, a=2,82843\\ \mathrm{cm/s^2}.
  • t_4=\dfrac{\pi}{2}\approx1,5708\\ \mathrm{s}: argumento 5\pi/4 então x=-0,5\\ \mathrm{cm}, v=1,0\\ \mathrm{cm/s}, a=2,0\\ \mathrm{cm/s^2}.
  • t_5=\dfrac{5\pi}{8}\approx1,9635\\ \mathrm{s}: argumento 3\pi/2 então x=0, v=1,41421\\ \mathrm{cm/s}, a=0.
  • t_6=\dfrac{3\pi}{4}\approx2,3562\\ \mathrm{s}: argumento 7\pi/4 então x=0,5\\ \mathrm{cm}, v=1,0\\ \mathrm{cm/s}, a=-2,0\\ \mathrm{cm/s^2}.
  • t_7=T=3,14\\ \mathrm{s}: volta ao início x=0,5\\ \mathrm{cm}, v=-1,0\\ \mathrm{cm/s}, a=-2,0\\ \mathrm{cm/s^2}.
Instrução para desenhar os gráficos (escalas e ticks):
  • Para x(t) versus t:
    • Eixo horizontal: t de 0 a 3,14\\ \mathrm{s} com ticks em 0,\\ \tfrac{\pi}{8},\\ \tfrac{\pi}{4},\\ \tfrac{3\pi}{8},\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \ldots,\\ T (numéricos: 0,\\\ 0,3927,\\\ 0,7854,\\\ 1,1781,\\\ 1,5708,\ldots,\\\ 3,14).
    • Eixo vertical: x de -0,8\\ \mathrm{cm} a 0,8\\ \mathrm{cm} com ticks em -0,707,\\\ -0,5,\\\ 0,\\\ 0,5,\\\ 0,707.
    • Pontos a marcar: os listados acima ( t_0 a t_7); ligar suavemente lembrando que é uma cosseno deslocado.
  • Para v(t) versus t:
    • Eixo vertical: v de -1,5\\ \mathrm{cm/s} a 1,5\\ \mathrm{cm/s} com ticks em -1,414,\\\ -1,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 1,414.
    • Marcar os valores calculados nos mesmos t_i.
  • Para a(t) versus t:
    • Eixo vertical: a de -3\\ \mathrm{cm/s^2} a 3\\ \mathrm{cm/s^2} com ticks em -2,828,\\\ -2,\\\ 0,\\\ 2,\\\ 2,828.
    • Observe que a(t) tem forma de cosseno igual a x(t) multiplicado por -\omega^2.
Dica de desenho: comece marcando os pontos listados e depois trace a curva suave de cosseno para x(t); para v e a faça o mesmo, a forma muda de cosseno para seno/menos seno conforme as fórmulas.

Passo 8

Resumo final das fórmulas prontas para usar na prova (formas numéricas, prontas para citar):
x(t)=0,0070711\cos\!\bigl(2t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \mathrm{m}
v(t)=-0,0141422\sin\!\bigl(2t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \mathrm{m/s}
a(t)=-0,0282844\cos\!\bigl(2t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \mathrm{m/s^2}
ou, em unidades mais familiares para desenho,
x(t)=0,70711\cos\!\bigl(2t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \mathrm{cm},
v(t)=-1,41421\sin\!\bigl(2t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \mathrm{cm/s},
a(t)=-2,82843\cos\!\bigl(2t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \mathrm{cm/s^2}.

Resposta

(a) A massa está deslocada para a direita do equilíbrio 0,5\\ \mathrm{cm} e movendo-se para a esquerda (velocidade v(0)=-1\\ \mathrm{cm/s}). Representação: mola à esquerda, ponto de equilíbrio no meio, massa à direita em x=0,5\\ \mathrm{cm} com seta de velocidade apontando para a esquerda.
(b) \displaystyle A=0,0070711\\ \mathrm{m}=0,70711\\ \mathrm{cm},\quad \omega=2\\ \mathrm{rad/s},\quad \varphi=\frac{\pi}{4}. Assim \displaystyle x(t)=0,0070711\cos\!\bigl(2t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \mathrm{m}.
(c) \displaystyle v(t)=-0,0141422\sin\!\bigl(2t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \mathrm{m/s},\qquad a(t)=-0,0282844\cos\!\bigl(2t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \mathrm{m/s^2}.
(d) Gráficos entre t=0 e t=T=3,14\\ \mathrm{s}: para x(t) usar eixo vertical de -0,8 a 0,8\\ \mathrm{cm} com ticks em -0,707,\\\ -0,5,\\\ 0,\\\ 0,5,\\\ 0,707; para v(t) eixo -1,5 a 1,5\\ \mathrm{cm/s} com ticks em -1,414,\\\ -1,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 1,414; para a(t) eixo -3 a 3\\ \mathrm{cm/s^2} com ticks em -2,828,\\\ -2,\\\ 0,\\\ 2,\\\ 2,828. Pontos importantes para marcar:
t=0:\\ x=0,5\\ \mathrm{cm},\\ v=-1\\ \mathrm{cm/s},\\ a=-2\\ \mathrm{cm/s^2}
t=\tfrac{\pi}{8}\approx0,3927\\ \mathrm{s}:\\ x=0,\\ v=-1,414\\ \mathrm{cm/s},\\ a=0
t=\tfrac{\pi}{4}\approx0,7854\\ \mathrm{s}:\\ x=-0,5\\ \mathrm{cm},\\ v=-1\\ \mathrm{cm/s},\\ a=2\\ \mathrm{cm/s^2}
t=\tfrac{3\pi}{8}\approx1,1781\\ \mathrm{s}:\\ x=-0,707\\ \mathrm{cm},\\ v=0,\\ a=2,828\\ \mathrm{cm/s^2} (e continuar simetricamente até T).

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