Um sistema massa mola obedece ao MHS com massa de 1 kg e
.
Em
s a sua posição é
e a sua velocidade
. Nestas condições:
a) Faça a representação do sistema massa mola para
.
b) Escreva a equação horária
obtendo as quantidades
e
.
c) Escreva a equação da velocidade e da aceleração em função do tempo para as condições do problema.
d) Faça os gráficos de
versus
versus
versus
detalhando os valores nos eixos considerados.
a) Faça a representação do sistema massa mola para
b) Escreva a equação horária
c) Escreva a equação da velocidade e da aceleração em função do tempo para as condições do problema.
d) Faça os gráficos de
Passo 1
O enunciado dá um sistema massa-mola em MHS com as seguintes informações (vou listar tudo e já converter as unidades para o SI, assim não nos enrolamos nas contas):
As perguntas são:
a) Fazer a representação do sistema massa-mola para (ou seja, onde está a massa em relação ao ponto de equilíbrio e qual a direção do movimento).
b) Escrever a equação horária , obtendo
,
e
.
c) Escrever as equações de velocidade e aceleração
para essas condições.
d) Fazer os gráficos de versus
,
versus
e
versus
, detalhando os valores nos eixos (vou indicar intervalos, ticks e alguns pontos importantes para desenhar).
a) Fazer a representação do sistema massa-mola para
b) Escrever a equação horária
c) Escrever as equações de velocidade
d) Fazer os gráficos de
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando devagar, como numa aulinha rápida):
- A solução geral do MHS para deslocamento é
onde:
-
é a amplitude (máximo deslocamento em relação ao equilíbrio), -
é a frequência angular (em ), -
é a fase inicial (em radianos), que define onde a oscilação começa no círculo trigonométrico. - A relação entre período
e frequência angular é
Explicação física: em uma oscilação completa o argumento
varia de
a
, e leva um tempo
; daí
.
- A velocidade é a derivada de
:
- A aceleração é a derivada de
(ou segunda de ):
Observação:
mostra porque é um movimento harmônico: a aceleração aponta sempre para o centro e é proporcional ao deslocamento.
Passo 3
Calcular
a partir de
. Usamos
:
Ou seja,
(número arredondado que, aqui, fica exato dentro da precisão do enunciado).
Passo 4
Aplicar as condições iniciais para achar
e
. Em
:
Substituindo
:
Agora temos o par
Ele é bem prático: somando os quadrados (identidade pitagórica
):
Assim
Calcule a raiz:
Para
usamos
. Como ambos
e
são positivos (veja que
e
),
está no primeiro quadrante. Logo
Resumo numérico:
(ou
),
,
.
Passo 5
Escrever a equação horária com os números obtidos e conferir a consistência com as condições iniciais (teste rápido):
Colocando tudo:
Colocando tudo:
Teste em
:
que é
como dado. Para a velocidade:
Em
:
que é
, conforme dado. Está tudo consistente.
Passo 6
Escrever a aceleração explicitamente e relacionar com
:
Também vale a forma compacta
Observação física: a constante elástica do sistema (se for pedida) seria
.
Passo 7
Preparar os gráficos pedindo os pontos importantes e instruções de escala (vou dar valores numéricos em centímetros e cm/s para facilitar o desenho manual):
Constantes úteis em unidades centimétricas:
Constantes úteis em unidades centimétricas:
Período
. Algumas posições de interesse e seus tempos (úteis para marcar no gráfico de
até
):
-
: , , . -
: argumento então , , . -
: argumento então , , . -
: argumento então , , . -
: argumento então , , . -
: argumento então , , . -
: argumento então , , . -
: volta ao início , , .
Instrução para desenhar os gráficos (escalas e ticks):
- Para
versus : - Eixo horizontal:
de a com ticks em (numéricos: ). - Eixo vertical:
de a com ticks em . - Pontos a marcar: os listados acima (
a ); ligar suavemente lembrando que é uma cosseno deslocado.
- Eixo horizontal:
- Para
versus : - Eixo vertical:
de a com ticks em . - Marcar os valores calculados nos mesmos
.
- Eixo vertical:
- Para
versus : - Eixo vertical:
de a com ticks em . - Observe que
tem forma de cosseno igual a multiplicado por .
- Eixo vertical:
Dica de desenho: comece marcando os pontos listados e depois trace a curva suave de cosseno para
; para
e
faça o mesmo, a forma muda de cosseno para seno/menos seno conforme as fórmulas.
Passo 8
Resumo final das fórmulas prontas para usar na prova (formas numéricas, prontas para citar):
ou, em unidades mais familiares para desenho,
Resposta
(a) A massa está deslocada para a direita do equilíbrio
e movendo-se para a esquerda (velocidade
). Representação: mola à esquerda, ponto de equilíbrio no meio, massa à direita em
com seta de velocidade apontando para a esquerda.
(b) . Assim
(c)
(d) Gráficos entre e
: para
usar eixo vertical de
a
com ticks em
; para
eixo
a
com ticks em
; para
eixo
a
com ticks em
. Pontos importantes para marcar:
(e continuar simetricamente até
).
(b)
(c)
(d) Gráficos entre