USANDO INTEGRAL DUPLA, calcule a área entre os gráficos de y=-x e y=\operatorname{sen}(x), para x \in[-\pi / 2, \pi / 2].

Passo 1

O enunciado dá as duas curvas y=-x e y=\sin(x) no intervalo x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] e pede a área da região limitada por essas duas curvas nesse intervalo.
Informações relevantes: os domínios e as expressões das duas curvas são y=-x e y=\sin(x); o intervalo em x é \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]. O que se pede: a área da região entre esses gráficos nesse intervalo.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas dentro do intervalo. Precisamos resolver
\sin(x) = -x.
Observação simples: para x>0 temos \sin(x)\ge 0 e -x<0, logo não podem ser iguais; para x<0 temos \sin(x)\le 0 e -x>0, também não podem ser iguais. Assim a única solução em \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] é x=0. Portanto as curvas se cruzam apenas em x=0, no ponto (0,0).

Passo 3

Determinar, em cada parte do intervalo, qual curva fica acima (isto é, tem maior y). Teste rápido: para x=\dfrac{\pi}{4}>0 temos \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e -\dfrac{\pi}{4}<0, então \sin(x)>-x em (0,\tfrac{\pi}{2}]. Para x=-\dfrac{\pi}{4}<0 temos \sin(-\tfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} e -x=\tfrac{\pi}{4}>0, então -x>\sin(x) em [-\tfrac{\pi}{2},0). Conclusão: no subintervalo [-\tfrac{\pi}{2},0] a função superior é y=-x e a inferior é y=\sin(x); no subintervalo [0,\tfrac{\pi}{2}] a função superior é y=\sin(x) e a inferior é y=-x.

Passo 4

Explicar a fórmula usada: a área de uma região R no plano pode ser escrita como integral dupla
\text{Área}(R)=\iint_{R} dA.Á
Escolhendo integração em coordenadas dx\,dy com fatias verticais (primeiro integrar em y), para cada x o y varia entre a curva de baixo e a curva de cima. Assim a área é a soma das duas integrais iteradas:
\text{Área}=\int_{-\pi/2}^{0}\int_{\sin(x)}^{-x} dy\,dx \;+\; \int_{0}^{\pi/2}\int_{-x}^{\sin(x)} dy\,dx.Á
Explicação curta: a integral interna \int_{y_{\text{inf}}}^{y_{\text{sup}}} dy y_{\text{sup}}-y_{\text{inf}}, que é a altura da fatia vertical em cada x.

Passo 5

Executar a integração interna para reduzir a integral dupla a integrais simples. Isso dá
\text{Área}=\int_{-\pi/2}^{0}\bigl(-x-\sin(x)\bigr)\,dx \;+\; \int_{0}^{\pi/2}\bigl(\sin(x)+x\bigr)\,dx.Á
Usamos agora simetria: observe que para x>0
\bigl(\sin(x)+x\bigr)=\bigl(-(-x)-\sin(-x)\bigr),
ou seja, a contribuição do x positivo é igual à do correspondente x negativo. Portanto as duas integrais são iguais e podemos escrever
\text{Área}=2\int_{0}^{\pi/2}\bigl(\sin(x)+x\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Calcular a integral. Primeiro encontrar antiderivadas:
\int \sin(x)\,dx = -\cos(x),\qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Logo
\int_{0}^{\pi/2}\bigl(\sin(x)+x\bigr)\,dx = \left[-\cos(x)+\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi/2}.
Avaliaremos os termos:
-\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{(\pi/2)^{2}}{2} \;-\; \bigl(-\cos(0)+0\bigr) = -0 + \frac{\pi^{2}}{8} \;-\; (-1) = \frac{\pi^{2}}{8}+1.
Multiplicando por 2 (pela simetria do Passo 5) obtemos a área total:
\text{Área}=2\left(\frac{\pi^{2}}{8}+1\right)=\frac{\pi^{2}}{4}+2.Á

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{2}}{4}+2

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