USANDO INTEGRAL DUPLA, calcule a área entre os gráficos de
e
, para
.
Passo 1
O enunciado dá as duas curvas
e
no intervalo
e pede a área da região limitada por essas duas curvas nesse intervalo.
Informações relevantes: os domínios e as expressões das duas curvas são e
; o intervalo em
é
. O que se pede: a área da região entre esses gráficos nesse intervalo.
Informações relevantes: os domínios e as expressões das duas curvas são
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas dentro do intervalo. Precisamos resolver
Observação simples: para
temos
e
, logo não podem ser iguais; para
temos
e
, também não podem ser iguais. Assim a única solução em
é
. Portanto as curvas se cruzam apenas em
, no ponto
.
Passo 3
Determinar, em cada parte do intervalo, qual curva fica acima (isto é, tem maior
). Teste rápido: para
temos
e
, então
em
. Para
temos
e
, então
em
. Conclusão: no subintervalo
a função superior é
e a inferior é
; no subintervalo
a função superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Explicar a fórmula usada: a área de uma região
no plano pode ser escrita como integral dupla
Escolhendo integração em coordenadas
com fatias verticais (primeiro integrar em
), para cada
o
varia entre a curva de baixo e a curva de cima. Assim a área é a soma das duas integrais iteradas:
Explicação curta: a integral interna
dá
, que é a altura da fatia vertical em cada
.
Passo 5
Executar a integração interna para reduzir a integral dupla a integrais simples. Isso dá
Usamos agora simetria: observe que para
ou seja, a contribuição do
positivo é igual à do correspondente
negativo. Portanto as duas integrais são iguais e podemos escrever
Passo 6
Calcular a integral. Primeiro encontrar antiderivadas:
Logo
Avaliaremos os termos:
Multiplicando por
(pela simetria do Passo 5) obtemos a área total: