Uma emissora de televisão afirma que 60 \% dos televisores estavam ligados no seu programa especial da última segunda feira. Uma rede competidora deseja contestar essa afirmação e decide usar uma amostra de 200 famílias para um teste. Qual deve ser o procedimento adotado para avaliar a veracidade da afirmação da estação? Admita-se que, da pesquisa feita com as 200 famílias, obtiveram 104 pessoas que estavam assistindo ao programa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou deixar bem claro para não nos perder):
  • A emissora afirma que 60\% dos televisores estavam ligados no seu programa especial (isso é a alegação).
  • A rede competidora pegou uma amostra de n=200 famílias.
  • Na amostra, 104 pessoas (famílias) estavam assistindo ao programa.
    O que se pede: qual procedimento devemos adotar para avaliar a veracidade da afirmação da estação e, com os dados da amostra ( 104 de 200), qual a conclusão (aceitar ou rejeitar a alegação)?

Passo 2

Escolha do procedimento (explicação passo a passo, como um amigo te explicando):
  • Quando queremos verificar se a proporção na população é igual a um valor dado (aqui 60\%), usamos um teste de hipóteses para proporção.
  • Há duas possibilidades de alternativa: a) testar se a proporção é diferente de 0,60 (teste bilateral), b) testar se a proporção é menor que 0,60 (teste unilateral à esquerda). A rede quer “contestar” a alegação; contestar costuma significar provar que a afirmação está errada — ou seja, usar um teste bilateral é apropriado se eles não especificaram direção; se eles acham explicitamente que o número é menor, então usa-se teste unilateral à esquerda. Aqui vou adotar o teste bilateral por ser o procedimento padrão para “contestar uma afirmação”. Se você preferir assumir que querem provar que é menor, comento ao final que a evidência fica até mais forte.
Portanto, o procedimento a aplicar: teste de hipóteses para proporção com aproximação normal (teste-z), verificando condições para a aproximação e calculando estatística e p-valor.

Passo 3

Definir formalmente as hipóteses (teste bilateral):
H_0:\; p = 0{,}60
H_1:\; p \neq 0{,}60
Aqui p é a proporção verdadeira de televisores ligados no programa na população.

Passo 4

Escolher o nível de significância \alpha.
  • Se o enunciado não dá um \alpha, usamos o mais comum \alpha=0{,}05 (5%).
  • Interpretação rápida: \alpha é a probabilidade de cometer erro do tipo I (rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira).

Passo 5

Verificar condições para usar a aproximação normal (aproximação de proporção por Z):
  • É comum requerer n p_0 \ge 5 e n(1-p_0) \ge 5, onde p_0 é o valor sob H_0.
    Calculemos:
n p_0 = 200 \times 0{,}60 = 120 \quad (\ge 5)
n(1-p_0) = 200 \times 0{,}40 = 80 \quad (\ge 5)
Portanto a aproximação normal é válida.

Passo 6

Calcular a proporção amostral \hat{p}:
\hat{p} = \frac{104}{200} = 0{,}52.
Vou sempre explicar: \hat{p} é a estimativa pontual da proporção p baseada na amostra.

Passo 7

Formulação da estatística de teste (intuição e fórmula):
  • Sob H_0 assumimos que a variabilidade da proporção amostral é dada por \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}. Isso vem da variância da proporção amostral quando os dados são binomiais e usamos p_0 como hipótese.
  • A estatística-z padroniza a diferença entre \hat{p} e p_0:
Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.
Explicando cada símbolo: \hat{p} é proporção observada, p_0 é proporção sob H_0, n é tamanho da amostra. O denominador é o erro padrão sob H_0.

Passo 8

Calcular o erro padrão sob H_0 e a estatística Z com os números:
Primeiro o erro padrão:
\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\dfrac{0{,}60\cdot 0{,}40}{200}}=\sqrt{\dfrac{0{,}24}{200}}=\sqrt{0{,}0012}\approx 0{,}03464.
Agora a estatística:
Z=\frac{0{,}52-0{,}60}{0{,}03464}=\frac{-0{,}08}{0{,}03464}\approx -2{,}309.
Interpretação: o valor observado \hat{p} está cerca de 2{,}309 desvios-padrão abaixo do valor reivindicado 0{,}60.

Passo 9

Obter o p-valor (método e cálculo):
  • Para teste bilateral, o p-valor é 2 vezes a cauda da normal padrão além do valor absoluto de Z:
\text{p-valor} = 2\cdot P(Z\leq -2{,}309) \approx 2\cdot 0{,}01052 \approx 0{,}0210.
Explicando: usamos a tabela da normal padrão ou calculadora para achar P(Z\le -2{,}309)\approx 0{,}01052. Multiplicamos por 2 porque o teste é bilateral (pode ocorrer desvio tanto para cima quanto para baixo).

Passo 10

Tomada de decisão (comparando p-valor com \alpha) e abordagem pelo valor crítico:
  • Comparando p-valor com \alpha=0{,}05: 0{,}0210 < 0{,}05, então rejeitamos H_0.
  • Pela abordagem crítica: o valor crítico para \alpha=0{,}05 em teste bilateral é z_{0{,}975}\approx 1{,}96. Como |Z|\approx 2{,}309 > 1{,}96, também rejeitamos H_0.
    Conclusão prática: há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a proporção verdadeira difere de 0{,}60. Observando a direção do Z (negativo), a proporção observada é significativamente menor que 0{,}60.

Passo 11

Interpretação em linguagem simples e observações finais (como usar isso na prova):
  • Em linguagem coloquial: com a amostra de 200 famílias e 104 assistindo, o teste mostra que é improvável que a proporção verdadeira seja 60\%; os dados sugerem que a proporção é menor.
  • Observação sobre teste unilateral: se a rede tivesse explicitamente como hipótese alternativa H_1: p<0{,}60, o p-valor unilateral seria aproximadamente 0{,}0105, que também leva à rejeição com folga para \alpha=0{,}05. Ou seja, se a intenção era provar que a proporção é menor, a evidência é ainda mais convincente.
  • Dica para a prova: sempre escreva claramente H_0 e H_1, verifique np_0 e n(1-p_0), calcule \hat{p}, o erro padrão com p_0, a estatística Z, o p-valor e então compare com \alpha. Mostre também a interpretação em palavras.

Resposta

Procedimento: aplicar um teste de hipóteses para proporção (teste Z) com H_0: p=0{,}60 e H_1: p\neq 0{,}60, usando \alpha=0{,}05.
Conclusão com os dados: \hat{p}=0{,}52, Z\approx -2{,}309, p-valor \approx 0{,}021. Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%; há evidência de que a proporção verdadeira difere de 0{,}60 (especificamente, é menor).

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