Uma emissora de televisão afirma que
dos televisores estavam ligados no seu programa especial da última segunda feira. Uma rede competidora deseja contestar essa afirmação e decide usar uma amostra de 200 famílias para um teste. Qual deve ser o procedimento adotado para avaliar a veracidade da afirmação da estação? Admita-se que, da pesquisa feita com as 200 famílias, obtiveram 104 pessoas que estavam assistindo ao programa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou deixar bem claro para não nos perder):
- A emissora afirma que
dos televisores estavam ligados no seu programa especial (isso é a alegação). - A rede competidora pegou uma amostra de
famílias. - Na amostra,
pessoas (famílias) estavam assistindo ao programa.
O que se pede: qual procedimento devemos adotar para avaliar a veracidade da afirmação da estação e, com os dados da amostra (de ), qual a conclusão (aceitar ou rejeitar a alegação)?
Passo 2
Escolha do procedimento (explicação passo a passo, como um amigo te explicando):
- Quando queremos verificar se a proporção na população é igual a um valor dado (aqui
), usamos um teste de hipóteses para proporção. - Há duas possibilidades de alternativa: a) testar se a proporção é diferente de
(teste bilateral), b) testar se a proporção é menor que (teste unilateral à esquerda). A rede quer “contestar” a alegação; contestar costuma significar provar que a afirmação está errada — ou seja, usar um teste bilateral é apropriado se eles não especificaram direção; se eles acham explicitamente que o número é menor, então usa-se teste unilateral à esquerda. Aqui vou adotar o teste bilateral por ser o procedimento padrão para “contestar uma afirmação”. Se você preferir assumir que querem provar que é menor, comento ao final que a evidência fica até mais forte.
Portanto, o procedimento a aplicar: teste de hipóteses para proporção com aproximação normal (teste-z), verificando condições para a aproximação e calculando estatística e p-valor.
Passo 3
Definir formalmente as hipóteses (teste bilateral):
Aqui
é a proporção verdadeira de televisores ligados no programa na população.
Passo 4
Escolher o nível de significância
.
- Se o enunciado não dá um
, usamos o mais comum (5%). - Interpretação rápida:
é a probabilidade de cometer erro do tipo I (rejeitar quando é verdadeira).
Passo 5
Verificar condições para usar a aproximação normal (aproximação de proporção por
):
- É comum requerer
e , onde é o valor sob .
Calculemos:
Portanto a aproximação normal é válida.
Passo 6
Calcular a proporção amostral
:
Vou sempre explicar:
é a estimativa pontual da proporção
baseada na amostra.
Passo 7
Formulação da estatística de teste (intuição e fórmula):
- Sob
assumimos que a variabilidade da proporção amostral é dada por . Isso vem da variância da proporção amostral quando os dados são binomiais e usamos como hipótese. - A estatística-z padroniza a diferença entre
e :
Explicando cada símbolo:
é proporção observada,
é proporção sob
,
é tamanho da amostra. O denominador é o erro padrão sob
.
Passo 8
Calcular o erro padrão sob
e a estatística
com os números:
Primeiro o erro padrão:
Primeiro o erro padrão:
Agora a estatística:
Interpretação: o valor observado
está cerca de
desvios-padrão abaixo do valor reivindicado
.
Passo 9
Obter o p-valor (método e cálculo):
- Para teste bilateral, o p-valor é
vezes a cauda da normal padrão além do valor absoluto de :
Explicando: usamos a tabela da normal padrão ou calculadora para achar
. Multiplicamos por 2 porque o teste é bilateral (pode ocorrer desvio tanto para cima quanto para baixo).
Passo 10
Tomada de decisão (comparando p-valor com
) e abordagem pelo valor crítico:
- Comparando p-valor com
: , então rejeitamos . - Pela abordagem crítica: o valor crítico para
em teste bilateral é . Como , também rejeitamos .
Conclusão prática: há evidência estatística, ao nível de, de que a proporção verdadeira difere de . Observando a direção do (negativo), a proporção observada é significativamente menor que .
Passo 11
Interpretação em linguagem simples e observações finais (como usar isso na prova):
- Em linguagem coloquial: com a amostra de
famílias e assistindo, o teste mostra que é improvável que a proporção verdadeira seja ; os dados sugerem que a proporção é menor. - Observação sobre teste unilateral: se a rede tivesse explicitamente como hipótese alternativa
, o p-valor unilateral seria aproximadamente , que também leva à rejeição com folga para . Ou seja, se a intenção era provar que a proporção é menor, a evidência é ainda mais convincente. - Dica para a prova: sempre escreva claramente
e , verifique e , calcule , o erro padrão com , a estatística , o p-valor e então compare com . Mostre também a interpretação em palavras.
Resposta
Procedimento: aplicar um teste de hipóteses para proporção (teste
) com
e
, usando
.
Conclusão com os dados: ,
, p-valor
. Rejeita-se
ao nível de
; há evidência de que a proporção verdadeira difere de
(especificamente, é menor).
Conclusão com os dados: