Questão 4. (2.0) Considere o sistema \Sigma_{1}=\left\{O, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}\right\}. O sistema \Sigma_{2}=\left\{O^{\prime}, f_{1}, f_{2}\right\} é obtido rotacionando e transladando o sistema \Sigma_{1} por um ângulo de 30^{\circ}(\pi / 6), e um vetor de translaçã \vec{a}=(2,2). Seja P=(1,2)_{\Sigma_{1}} e a reta [r: 2 x-y+1=0]_{\Sigma_{1}}. Obtenha as coordenadas de P e uma equação de r escrita no sistema \Sigma_{2}.
Passo 1
O enunciado dá dois sistemas de coordenadas no plano: \Sigma_{1}=\{O,\overrightarrow e_{1},\overrightarrow e_{2}\} e \Sigma_{2}=\{O',f_{1},f_{2}\}, onde \Sigma_{2} é obtido a partir de \Sigma_{1} por rotação de ângulo \theta=\pi/6 (no sentido anti-horário) e translação de vetor \vec a=(2,2).
Temos o ponto P=(1,2)_{\Sigma_{1}} e a reta
r:\;2x - y + 1 = 0
em \Sigma_{1}. O objetivo é achar as coordenadas de P em \Sigma_{2} (digamos (u_{P},v_{P})_{\Sigma_{2}}) e uma equação de r em \Sigma_{2} (em termos de (u,v)).
Passo 2
Para qualquer ponto X com coordenadas (x,y)_{\Sigma_{1}}, as coordenadas (u,v)_{\Sigma_{2}} satisfazem