Questão 4. (2.0) Considere o sistema \Sigma_{1}=\left\{O, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}\right\}. O sistema \Sigma_{2}=\left\{O^{\prime}, f_{1}, f_{2}\right\} é obtido rotacionando e transladando o sistema \Sigma_{1} por um ângulo de 30^{\circ}(\pi / 6), e um vetor de translaçã \vec{a}=(2,2). Seja P=(1,2)_{\Sigma_{1}} e a reta [r: 2 x-y+1=0]_{\Sigma_{1}}. Obtenha as coordenadas de P e uma equação de r escrita no sistema \Sigma_{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas de coordenadas no plano:
\Sigma_{1}=\{O,\overrightarrow e_{1},\overrightarrow e_{2}\} e
\Sigma_{2}=\{O',f_{1},f_{2}\}, onde \Sigma_{2} é obtido a partir de \Sigma_{1} por rotação de ângulo
\theta=\pi/6 (no sentido anti-horário) e translação de vetor \vec a=(2,2).
Temos o ponto P=(1,2)_{\Sigma_{1}} e a reta
r:\;2x - y + 1 = 0
em \Sigma_{1}. O objetivo é achar as coordenadas de P em \Sigma_{2} (digamos (u_{P},v_{P})_{\Sigma_{2}}) e uma equação de r em \Sigma_{2} (em termos de (u,v)).

Passo 2

Para qualquer ponto X com coordenadas (x,y)_{\Sigma_{1}}, as coordenadas (u,v)_{\Sigma_{2}} satisfazem
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 2\end{pmatrix} + R_{\theta} \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix},
onde
R_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, \quad \theta=\pi/6.
Invertendo,
\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} = R_{-\theta} \Bigl(\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\\ 2\end{pmatrix}\Bigr),
isto é, subtrai-se \vec a e aplica-se rotação de -\theta.

Passo 3

Para P, temos \bigl(x,y\bigr)=(1,2), então
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix}.
Aplicando rotação de -\pi/6:
R_{-\pi/6} = \begin{pmatrix} \cos(-\pi/6) & -\sin(-\pi/6)\\\ \sin(-\pi/6) & \cos(-\pi/6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\pi/6) & \sin(\pi/6)\\\\ -\sin(\pi/6) & \cos(\pi/6) \end{pmatrix}.
Logo
\begin{pmatrix}u_{P}\v_{P}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\pi/6) & \sin(\pi/6)\\\\ -\sin(\pi/6) & \cos(\pi/6) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\cos(\pi/6)\\[6pt] \sin(\pi/6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{\sqrt3}{2}\\[4pt] \tfrac12 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para a reta r\colon 2x - y +1=0, todo ponto (x,y) em \Sigma_{1} deve satisfazer isso. Mas
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 2\end{pmatrix} + R_{\pi/6} \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix},
onde
R_{\pi/6} = \begin{pmatrix} \cos(\pi/6) & -\sin(\pi/6)\\\ \sin(\pi/6) & \cos(\pi/6) \end{pmatrix}.
Escrevendo x=2+\cos(\pi/6)\,u-\sin(\pi/6)\,v e
y=2+\sin(\pi/6)\,u+\cos(\pi/6)\,v e substituindo em 2x-y+1=0, obtemos
2\bigl(2+\cos\tfrac\pi6\,u-\sin\tfrac\pi6\,v\bigr) -\bigl(2+\sin\tfrac\pi6\,u+\cos\tfrac\pi6\,v\bigr) +1=0.

Passo 5

Expandindo e simplificando (usando \cos\frac\pi6=\tfrac{\sqrt3}2, \sin\frac\pi6=\tfrac12):
4 +2\cos\tfrac\pi6\,u-2\sin\tfrac\pi6\,v -2 -\sin\tfrac\pi6\,u-\cos\tfrac\pi6\,v +1=0 \;\Longrightarrow\; 3 +\Bigl(2\cos\tfrac\pi6-\sin\tfrac\pi6\Bigr)u +\Bigl(-2\sin\tfrac\pi6-\cos\tfrac\pi6\Bigr)v=0.
Substituindo valores e multiplicando por 2 para evitar frações:
\bigl(2\sqrt3-1\bigr)\,u \;-\;(2+\sqrt3)\,v\;+\;6\;=\;0.

Resposta

P_{\Sigma_{2}}=\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},\,\tfrac12\bigr).
A equação de r em \Sigma_{2}, usando coordenadas (u,v), é
(2\sqrt3-1)\,u \;-\;(2+\sqrt3)\,v\;+\;6\;=\;0.

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