Questão 1. (1.0) Descreva em cada caso, as condições necessárias para que:
Dois planos sejam tranversais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a condição necessária para que dois planos em \mathbb{R}^3 sejam transversais, isto é, para que eles se cortem em uma reta. Para isso vamos usar o conceito de vetor normal de cada plano e a condição de não paralelismo entre esses vetores.

Passo 2

Sejam os dois planos dados por
\Pi_1:\;n_1\cdot x + d_1 = 0 \quad\text{e}\quad \Pi_2:\;n_2\cdot x + d_2 = 0,
onde n_1 e n_2 são os vetores normais a \Pi_1 e \Pi_2, respectivamente. Esses planos são paralelos (ou coincidentes) exatamente quando existe \lambda\neq 0 tal que
n_1 = \lambda\,n_2.
Logo, para serem transversais (isto é, para não serem paralelos), deve valer
\not\!\exists\,\lambda\neq 0\text{ com }n_1 = \lambda\,n_2.
Em outras palavras, os vetores n_1 e n_2 não podem ser colineares.

Passo 3

Uma forma equivalente de afirmar essa condição é exigir que o produto vetorial seja não nulo:
n_1 \times n_2 \neq 0.
Isso garante que os dois planos \Pi_1 e \Pi_2 se intersectam ao longo de uma reta bem definida.

Resposta

Dois planos em \mathbb{R}^3 são transversais se, e somente se, seus vetores normais n_1 e n_2 não forem colineares, i.e.,
\not\!\exists\,\lambda\neq 0\text{ com }n_1=\lambda\,n_2 \quad\Longleftrightarrow\quad n_1\times n_2\neq 0.

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