Questão 1. (1.0) Descreva em cada caso, as condições necessárias para que:
Dois planos sejam paralelos.

Passo 1

O enunciado pede para descrever quando dois planos em \mathbb{R}^3 são paralelos. O conteúdo é geometria analítica vetorial de planos. Para resolver, precisamos saber como se representa um plano por sua equação geral e como extrair seu vetor normal.

Passo 2

Um plano genérico em \mathbb{R}^3 pode ser escrito como
a x + b y + c z + d = 0,
onde \bigl(a,b,c\bigr) é o vetor normal ao plano. Chamemos o primeiro plano de
P_1: a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0
e o segundo de
P_2: a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0.

Passo 3

Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais forem colineares. Ou seja, existem escalares não nulos \lambda tais que
\bigl(a_1,b_1,c_1\bigr) = \lambda\,\bigl(a_2,b_2,c_2\bigr).

Passo 4

Esse critério garante que, mesmo que os planos se estendam indefinidamente, eles nunca irão se cruzar (ou que são coincidentes, se d_1 e d_2 também obedecerem ao mesmo fator). Para que sejam paralelos e não coincidam, basta que
\frac{a_1}{a_2} \;=\;\frac{b_1}{b_2}\;=\;\frac{c_1}{c_2} \quad\text{e}\quad \frac{d_1}{d_2}\neq \frac{a_1}{a_2}.

Resposta

Dois planos P_1 e P_2 em \mathbb{R}^3 são paralelos se, e somente se, seus vetores normais forem colineares, isto é, se existir \lambda\neq0 tal que
(a_1,b_1,c_1) = \lambda\,(a_2,b_2,c_2).
Além disso, para que sejam distintos (paralelos sem coincidência), deve ocorrer
\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \quad\text{e}\quad \frac{d_1}{d_2} \neq \frac{a_1}{a_2}.

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