Questão 6 (2.0). Seja F=(1,2) o foco de uma parabóla \mathcal{P} e \mathcal{L}: x-2 y+1=0 a equação da sua diretriz. Encontre a equação geral da parabola \mathcal{P}.

Passo 1

O enunciado dá o foco \,F=(1,2) e a diretriz \,\mathcal{L}:x-2y+1=0 de uma parábola \mathcal{P}. Pelo conceito de parábola, um ponto P=(x,y) pertence a \mathcal{P} se a distância de P a F for igual à distância de P à reta \mathcal{L}. Vamos usar a fórmula da distância ponto–ponto e ponto–reta para montar a equação.

Passo 2

Escrevendo a condição de igualdade de distâncias, temos
\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} = \frac{\bigl|\,x-2y+1\bigr|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{\bigl|\,x-2y+1\bigr|}{\sqrt{5}}.
Elevando ao quadrado,
(x-1)^2+(y-2)^2 = \frac{(x-2y+1)^2}{5}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar o denominador,
5\bigl[(x-1)^2+(y-2)^2\bigr] = (x-2y+1)^2.

Passo 4

Vamos expandir cada lado.
À esquerda:
5\bigl[(x-1)^2+(y-2)^2\bigr] =5\bigl[x^2-2x+1 + y^2-4y+4\bigr] =5x^2+5y^2 -10x -20y +25.
À direita:
(x-2y+1)^2 =x^2 -4xy +4y^2 +2x -4y +1.

Passo 5

Trazendo tudo para um lado e agrupando termos semelhantes,
5x^2+5y^2 -10x -20y +25 -\bigl(x^2 -4xy +4y^2 +2x -4y +1\bigr) =0.
Fazendo as subtrações,
(5x^2 - x^2) \;+\;(5y^2 -4y^2)\;+\;4xy\;+\;(-10x -2x)\;+\;(-20y +4y)\;+\;(25-1) =0,
isto é,
4x^2 +4xy + y^2 -12x -16y +24 = 0.

Resposta

A equação geral da parábola \mathcal{P} é
4x^2 +4xy + y^2 -12x -16y +24 = 0.

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