Questão 1. Considere o sólido
E=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} \leq 1,0 \leq z \leq 2\right\} .
(a) Justifique, sem calcular, por que coordenadas cilíndricas são mais adequadas do que coordenadas cartesianas.
(b) Escreva a integral tripla de \iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right) d V em coordenadas cilíndricas.
(c) Explique o significado geométrico de cada limite de integração.

Passo 1

O enunciado dá o sólido
E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\; x^{2}+y^{2}\le 1,\; 0\le z\le 2\}.
As perguntas são:
(a) justificar, sem calcular, por que usar coordenadas cilíndricas é mais adequado que cartesianas;
(b) escrever a integral tripla \displaystyle \iiint_{E}(x^{2}+y^{2})\,dV em coordenadas cilíndricas;
(c) explicar geometricamente o significado de cada limite de integração que aparecer na escrita em coordenadas cilíndricas.
Informações relevantes dadas:
  • A projeção de E no plano xy é o disco \{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 1\} (raio 1 centrado na origem).
  • A coordenada z varia entre 0 e 2 de forma independente das coordenadas x,y.

Passo 2

Por que coordenadas cilíndricas são mais adequadas (justificativa sem calcular).
  • Observação intuitiva: a região no plano xy é um disco circular de raio 1. Regiões com simetria circular ficam muito mais simples em coordenadas polares (que são a parte xy das cilíndricas).
  • Além disso, a função a integrar depende só de x^{2}+y^{2}, ou seja, só do raio em torno da origem, não do ângulo; isto sugere fortemente usar coordenadas que tratem x^{2}+y^{2} como uma única variável (o raio).
  • Em coordenadas cartesianas os limites para y dependeriam de x: teríamos x\in[-1,1] e y\in[-\sqrt{1-x^{2}},\sqrt{1-x^{2}}], o que introduz raízes e complicação. Em coordenadas cilíndricas os limites serão constantes e simples porque a região é exatamente um cilindro de base circular.

Passo 3

Apresentação das coordenadas cilíndricas e do elemento de volume (aulas rápida e concreta).
  • Definição de coordenadas cilíndricas: usar \,r,\theta,z com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Aqui r\ge 0 é a distância ao eixo z, \theta é o ângulo medido a partir do eixo x no plano xy, e z é a altura normal.
  • Intervalos usuais: \;0\le r<\infty,\; 0\le \theta<2\pi,\; z\in\mathbb{R}. Para uma região circular de raio 1 usaremos 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi.
  • Elemento de volume: a transformação (r,\theta,z)\mapsto(x,y,z) altera o elemento de área do plano xy. O comprimento do arco na direção angular é proporcional a r\,d\theta, e o elemento radial é dr, então a área diferencial no plano xy é r\,dr\,d\theta. Multiplicando por dz obtém-se o elemento de volume
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
  • (Breve justificativa do determinante): a matriz jacobiana da transformação tem determinante r, portanto o fator de escala do volume é r. Não é preciso memorizar sem entender: pense que quando \theta varia um pouco, a variação linear no espaço vale aproximadamente r\,d\theta — por isso aparece o r.

Passo 4

Substituição do integrando e escrita da integral em coordenadas cilíndricas (passo a passo).
  • Primeiro, a função dentro da integral \,x^{2}+y^{2}\, em cilíndricas fica
x^{2}+y^{2} = (r\cos\theta)^{2} + (r\sin\theta)^{2} = r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) = r^{2}.
  • O elemento de volume é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Portanto o integrando total (função vezes elemento de volume) passa a ser r^{2}\cdot r = r^{3}.
  • Agora os limites: para a projeção no plano xy (o disco de raio 1) usamos 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi. Para z sabemos 0\le z\le 2. Escolhendo a ordem \,dz\,dr\,d\theta (comum e simples), a integral fica
\iiint_{E}(x^{2}+y^{2})\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{2} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Significado geométrico de cada limite de integração (explicação detalhada e prática).
  • Limites de r: \;0\le r\le 1. Geometricamente isto significa: para um ângulo fixo \theta eu parto do eixo z (raio r=0) e vou até a borda do disco (raio r=1). Ou seja, percorro todos os pontos a uma distância r do eixo até o raio máximo do disco.
  • Limites de \theta: \;0\le\theta\le 2\pi. Isso significa que, ao variar \theta de 0 a 2\pi, eu giro uma volta completa em torno do eixo z, cobrindo todo o disco circular em todas as direções.
  • Limites de z: \;0\le z\le 2. Para cada ponto do disco de base (fixos r,\theta) a coordenada z varia verticalmente entre 0 e 2; isso descreve a altura do cilindro — portanto, na prática, para cada posição na base toma-se o segmento vertical de altura 2.

Resposta

(a) Porque a região tem simetria circular (projeção no plano xy é um disco) e a função a integrar depende apenas de x^{2}+y^{2}, de modo que em coordenadas cilíndricas os limites ficam constantes e o integrando simplifica.
(b) \iiint_{E}(x^{2}+y^{2})\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.
(c) \;0\le r\le 1 representa o raio da origem até a borda do disco (da linha central até a circunferência de raio 1); \;0\le\theta\le 2\pi representa uma volta completa em torno do eixo z cobrindo todo o disco; \;0\le z\le 2 representa a altura vertical do cilindro, de baixo ( z=0 ) até o topo ( z=2 ).

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