Questão 1. Considere o sólido
(a) Justifique, sem calcular, por que coordenadas cilíndricas são mais adequadas do que coordenadas cartesianas.
(b) Escreva a integral tripla de
em coordenadas cilíndricas.
(c) Explique o significado geométrico de cada limite de integração.
(b) Escreva a integral tripla de
(c) Explique o significado geométrico de cada limite de integração.
Passo 1
O enunciado dá o sólido
As perguntas são:
(a) justificar, sem calcular, por que usar coordenadas cilíndricas é mais adequado que cartesianas;
(b) escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas;
(c) explicar geometricamente o significado de cada limite de integração que aparecer na escrita em coordenadas cilíndricas.
(a) justificar, sem calcular, por que usar coordenadas cilíndricas é mais adequado que cartesianas;
(b) escrever a integral tripla
(c) explicar geometricamente o significado de cada limite de integração que aparecer na escrita em coordenadas cilíndricas.
Informações relevantes dadas:
- A projeção de
no plano é o disco (raio centrado na origem). - A coordenada
varia entre e de forma independente das coordenadas .
Passo 2
Por que coordenadas cilíndricas são mais adequadas (justificativa sem calcular).
- Observação intuitiva: a região no plano
é um disco circular de raio . Regiões com simetria circular ficam muito mais simples em coordenadas polares (que são a parte das cilíndricas). - Além disso, a função a integrar depende só de
, ou seja, só do raio em torno da origem, não do ângulo; isto sugere fortemente usar coordenadas que tratem como uma única variável (o raio). - Em coordenadas cartesianas os limites para
dependeriam de : teríamos e , o que introduz raízes e complicação. Em coordenadas cilíndricas os limites serão constantes e simples porque a região é exatamente um cilindro de base circular.
Passo 3
Apresentação das coordenadas cilíndricas e do elemento de volume (aulas rápida e concreta).
- Definição de coordenadas cilíndricas: usar
com
Aqui
é a distância ao eixo
,
é o ângulo medido a partir do eixo
no plano
, e
é a altura normal.
- Intervalos usuais:
. Para uma região circular de raio usaremos , . - Elemento de volume: a transformação
altera o elemento de área do plano . O comprimento do arco na direção angular é proporcional a , e o elemento radial é , então a área diferencial no plano é . Multiplicando por obtém-se o elemento de volume
- (Breve justificativa do determinante): a matriz jacobiana da transformação tem determinante
, portanto o fator de escala do volume é . Não é preciso memorizar sem entender: pense que quando varia um pouco, a variação linear no espaço vale aproximadamente — por isso aparece o .
Passo 4
Substituição do integrando e escrita da integral em coordenadas cilíndricas (passo a passo).
- Primeiro, a função dentro da integral
em cilíndricas fica
- O elemento de volume é
. - Portanto o integrando total (função vezes elemento de volume) passa a ser
. - Agora os limites: para a projeção no plano
(o disco de raio ) usamos e . Para sabemos . Escolhendo a ordem (comum e simples), a integral fica
Passo 5
Significado geométrico de cada limite de integração (explicação detalhada e prática).
- Limites de
: . Geometricamente isto significa: para um ângulo fixo eu parto do eixo (raio ) e vou até a borda do disco (raio ). Ou seja, percorro todos os pontos a uma distância do eixo até o raio máximo do disco. - Limites de
: . Isso significa que, ao variar de a , eu giro uma volta completa em torno do eixo , cobrindo todo o disco circular em todas as direções. - Limites de
: . Para cada ponto do disco de base (fixos ) a coordenada varia verticalmente entre e ; isso descreve a altura do cilindro — portanto, na prática, para cada posição na base toma-se o segmento vertical de altura .
Resposta
(a) Porque a região tem simetria circular (projeção no plano
é um disco) e a função a integrar depende apenas de
, de modo que em coordenadas cilíndricas os limites ficam constantes e o integrando simplifica.
(b)
(c)
representa o raio da origem até a borda do disco (da linha central até a circunferência de raio 1);
representa uma volta completa em torno do eixo
cobrindo todo o disco;
representa a altura vertical do cilindro, de baixo (
) até o topo (
).