Questão 4(2,0) : Considere as superfícies:
S1: A parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 com y <= 0 ;
S2: O cilindro elíptico x^2+4 y^2=1 com z in R;
S3 : A parte da sela z-x^2+y^2=0 que está dentro do cilindro x^2+y^2=9;
S4 : A parte do plano 2 x+y+z=2 que está no primeiro octante ( x, y, z >= 0 );
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;
(b) Determine a equação do plano tangente à S2 (cilindro) no ponto ( 1,0,51 );
(c) Determine a equação do plano tangente à S3 (sela) no ponto (2,1,3).

Passo 1

O enunciado pede, em (a), parametrizar quatro superfícies: a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 com y<=0, o cilindro elíptico x^2+4y^2=1, a sela z - x^2 + y^2=0 dentro do cilindro x^2+y^2=9 e o trecho do plano 2x+y+z=2 no primeiro octante. Em (b) e (c) é para determinar a equação do plano tangente às superfícies do cilindro e da sela, usando o gradiente da função implícita.

Passo 2

Parametrização de S1: use coordenadas esféricas com raio 2.
r(phi,theta) =l(2sinphicostheta,;2sinphisintheta,;2cosphir),
onde phiin[0,pi] e, para garantir y<=0, thetain[tfracpi2,,tfrac3pi2]

Passo 3

Parametrização de S2: cilindro elíptico x^2+4y^2=1.
r(t,z) =l(cos t,;tfrac12sin t,;zr),
com tin[0,2pi] e zinR

Passo 4

Parametrização de S3: sela dada por z = x^2-y^2 dentro do disco x^2+y^2<=9.
r(x,y) =l(x,;y,;x^2-y^2r),
com (x,y)mid x^2+y^2<=9

Passo 5

Parametrização de S4: plano 2x+y+z=2 no primeiro octante. Resolve-se z=2-2x-y.
r(u,v) =l(u,;v,;2-2u-vr),
com (u,v)mid u>=0,;v>=0,;2u+v<=2

Passo 6

Plano tangente a S2 em (1,0,51): use F(x,y,z)=x^2+4y^2-1.
nabla F=(2x,,8y,,0),
em (1,0,51) nabla F(1,0,51)=(2,0,0). Logo o plano é
2,(x-1)=0 Longrightarrow x=1

Passo 7

Plano tangente a S3 em (2,1,3): use G(x,y,z)=z - x^2 + y^2.
nabla G=(-2x,,2y,,1),
em (2,1,3) nabla G(2,1,3)=(-4,2,1). A equação do plano é
-4(x-2)+2(y-1)+1,(z-3)=0 Long<=ftrightarrow 4x-2y-z-3=0

Resposta

(a)
S1:; r(phi,theta)=(2sinphicostheta,2sinphisintheta,2cosphi),;phiin[0,pi],;thetain[tfracpi2,,tfrac3pi2]
S2:; r(t,z)=(cos t,tfrac12sin t,z),;tin[0,2pi],;zinR
S3:; r(x,y)=(x,y,x^2-y^2),;(x,y) em x^2+y^2<=9
S4:; r(u,v)=(u,v,2-2u-v),;(u,v) em u>=0,v>=0,2u+v<=2
(b) Plano tangente a S2 em (1,0,51): x=1
(c) Plano tangente a S3 em (2,1,3): 4x-2y-z-3=0

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