Questão
: Considere as superfícies:
A parte da esfera
O cilindro elíptico
com
;
: A parte da sela
que está dentro do cilindro
;
: A parte do plano
que está no primeiro octante (
);
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;
(b) Determine a equação do plano tangente à
(cilindro) no ponto (
);
(c) Determine a equação do plano tangente à
(sela) no ponto
.
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;
(b) Determine a equação do plano tangente à
(c) Determine a equação do plano tangente à
Passo 1
O enunciado pede, em (a), parametrizar quatro superfícies: a parte da esfera
com
, o cilindro elíptico
, a sela
dentro do cilindro
e o trecho do plano
no primeiro octante. Em (b) e (c) é para determinar a equação do plano tangente às superfícies do cilindro e da sela, usando o gradiente da função implícita.
Passo 2
Parametrização de
: use coordenadas esféricas com raio
.
onde
e, para garantir
,
Passo 3
Parametrização de
: cilindro elíptico
.
com
e
Passo 4
Parametrização de
: sela dada por
dentro do disco
.
com
Passo 5
Parametrização de
: plano
no primeiro octante. Resolve-se
.
com
Passo 6
Plano tangente a
em
: use
.
em
dá
. Logo o plano é
Passo 7
Plano tangente a
em
: use
.
em
dá
. A equação do plano é
Resposta
(a)
(b) Plano tangente a em
:
(c) Plano tangente a em
:
(b) Plano tangente a
(c) Plano tangente a