Resolva os problemas
y^prime prime+y=g(t), y(0)=2, y^prime(0)=-1, g(t)=ll1, & 0 <= t<pi / 2, -1, & t >= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
com condições iniciais
O método é resolver peça a peça (cada ramo constante de e em .

Passo 2

Para 0<= t<pi/2 temos
y''+y=1
Uma particular constante é yp=1. A solução geral é
y1(t)=Acos t + Bsin t + 1
Usando y1(0)=2 e y1'(0)=-1:
y1(0)=A+1=2 Longrightarrow A=1,
y1'(t)=-Asin t + Bcos t Longrightarrow y1'(0)=B=-1
Logo
y1(t)=cos t - sin t +1, 0<= t<pi2

Passo 3

Para t>=pi/2 temos
y''+y=-1
Uma particular é yp=-1, e a solução geral é
y2(t)=Ccos t + Dsin t -1
Em t=pi/2 impomos
y2!l(tfracpi2r)=y1!l(tfracpi2r), y2'!l(tfracpi2r)=y1'!l(tfracpi2r)
Como
y1!l(tfracpi2r)=0, y1'!l(tfracpi2r)=-1,
temos
Ccdot0 + Dcdot1 -1 = 0 Longrightarrow D=1,
y2'(t)=-Csin t + Dcos t Longrightarrow y2'!l(tfracpi2r)=-C = -1 Longrightarrow C=1
Assim
y2(t)=cos t + sin t -1, t>= pi2

Resposta

y(t)= cos t - sin t + 1, & 0 <= t < dfracpi2,[6pt] cos t + sin t - 1, & t >= dfracpi2 ]

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