Questão 4. Considere T o sólido no primeiro octante delimitado por z=4-x^{2}, z=0, y=x e y=0. Esboçe por separado o sólido T e em cada caso, esboçe a região de integração escolhida para calcular \iiint_{T} x y d V na ordem:
d y d z d x.

Passo 1

O enunciado dá um sólido T no primeiro octante limitado por:
  • a superfície superior z=4-x^{2};
  • o plano inferior z=0;
  • os planos laterais y=0 e y=x;
  • além disso estamos no primeiro octante, então x\ge0, y\ge0, z\ge0.
O que é pedido:
  • esboçar separadamente o sólido T;
  • para a ordem de integração d y\, d z\, d x, esboçar a região de integração escolhida e montar a integral \iiint_{T} x y\, dV;
  • (implícito) calcular a integral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A face superior depende apenas de x: z=4-x^{2}. Intersecção com z=0 x^{2}=4\Rightarrow x=2 (no primeiro octante usamos x=2, pois x\ge0).
  • As faces em y são y=0 e y=x, ou seja, para cada x fixo, y varia de 0 até x.
  • Portanto o intervalo de x será [0,2].

Passo 2

Entender a geometria e as projeções (como fazer o esboço do sólido).
  • A superfície z=4-x^{2} é um cilindro parabólico (paraboloide “unidirecional”): em qualquer plano paralelo ao plano xz (isto é, cortando a superfície por uma reta de constante y) aparece a parábola z=4-x^{2} que abre para baixo, com vértice em x=0, z=4. Como não há y na equação, essa parábola se estende ao longo de toda a direção y: é uma superfície que é a mesma curva em qualquer “fatia” de y — podemos pensar numa “curtina parabólica” ao longo do eixo y.
  • Em z=0 temos o plano do chão; a interseção com z=4-x^{2} é a linha x=\pm 2. No primeiro octante tomamos a linha x=2.
  • As restrições y=0 e y=x limitam o sólido na direção y. No plano xy essas duas retas delimitam um triângulo retângulo com vértices (0,0), (2,0) e (2,2) (observe que o corte x=2 combinado com y=x dá o ponto (2,2)).
  • Esboço do sólido (como desenhar):
    1. Desenhar o eixo x para a direita, y saindo para cima da página e z vertical para cima.
    2. Desenhar a parábola z=4-x^{2} no plano y=0 (plano xz): vértice em (0,0,4), cruza z=0 em x=2.
    3. Estender essa parábola ao longo da direção y (até y=x) formando uma “tampa” parabólica que se reduz até a borda em x=2.
    4. Cortar o sólido entre y=0 e y=x: isso cria uma cunha (wedge) cuja secção em um x fixo é um segmento em y de 0 a x, e em z é de 0 até 4-x^{2}.

Passo 3

Escolher os limites para a ordem d y\, d z\, d x (aqui explico cuidadosamente por que cada limite é esse).
  • Ordem de integração: primeiro integrar em y (para y fixo entre limites dependentes de x,z ou só de x), depois z, depois x.
  • Observação sobre dependência: as superfícies que limitam y são y=0 e y=x. Note que estes não dependem de z. Portanto, para um x fixo e qualquer z entre 0 e 4-x^{2}, o y varia sempre do mesmo modo: de 0 até x. Logo os limites internos (para y) serão \;0\le y\le x.
  • Para z: o sólido está entre z=0 e z=4-x^{2}. Esses limites não dependem de y. Como estamos integrando y antes de z, o limite médio (para z) é 0\le z\le 4-x^{2}.
  • Para x: como observado, a região projetada em x vai de x=0 até x=2 (ponto onde a tampa parabólica cruza o plano z=0). Logo 0\le x\le 2.
Portanto a integral tripla na ordem pedida é
\int_{x=0}^{2}\int_{z=0}^{4-x^{2}}\int_{y=0}^{x} x\,y \; dy\, dz\, dx.
Geometricamente, para cada valor fixo de x\in[0,2]:
  • a região de integração no plano yz é um retângulo com 0\le y\le x (horizontal) e 0\le z\le 4-x^{2} (vertical). Esse retângulo varia de tamanho conforme x muda (a largura em y é x, a altura em z é 4-x^{2}).
  • A projeção do sólido no eixo x é o intervalo [0,2].

Passo 4

Calcular a integral passo a passo (mostrando todos os detalhes das contas, do jeito que se faz na prova sem pular etapas).
Escrevemos novamente a integral:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x^{2}}\int_{0}^{x} x\,y \; dy\, dz\, dx.
  1. Integrar em y ( x e z tratam-se como constantes quando integramos em y ):
\int_{0}^{x} x\,y \; dy = x \int_{0}^{x} y \; dy = x \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x} = x \cdot \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{2}.
Expliquei: fez-se fator comum x, integrou-se y obtendo y^{2}/2, avaliado de 0 a x.
  1. Agora integrar em z:
\int_{0}^{4-x^{2}} \frac{x^{3}}{2} \; dz = \frac{x^{3}}{2} \int_{0}^{4-x^{2}} dz = \frac{x^{3}}{2} \left[ z \right]_{0}^{4-x^{2}} = \frac{x^{3}}{2} (4-x^{2}).
Aqui x é constante na integração em z, então o resultado é multiplicar por o comprimento em z.
  1. Finalmente integrar em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{2} (4-x^{2}) \; dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2} (4x^{3} - x^{5}) \; dx.
Calculemos as primitivas:
\int 4x^{3}\,dx = 4\cdot \frac{x^{4}}{4} = x^{4}, \qquad \int x^{5}\,dx = \frac{x^{6}}{6}.
Avaliar de 0 a 2:
\int_{0}^{2} 4x^{3}\,dx = \left[x^{4}\right]_{0}^{2} = 2^{4}-0 = 16,
\int_{0}^{2} x^{5}\,dx = \left[\frac{x^{6}}{6}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{6}}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}.
Portanto
\frac{1}{2}\left(16 - \frac{32}{3}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{48-32}{3} = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{3} = \frac{8}{3}.
Assim o valor da integral é \dfrac{8}{3}.

Passo 5

Resumo do que desenhar (orientações de esboço passo a passo, para você desenhar rápido na prova):
  • Esboço do sólido T:
    1. No plano xz (isto é, corte y=0), desenhe a parábola z=4-x^{2} com vértice em (0,4) e cruzando z=0 em x=2. Marque também o ponto (2,0,0).
    2. Estenda essa parábola ao longo da direção positiva y até a reta y=x. Assim o “teto” é uma superfície que não varia com y e que tem a forma da parábola em cada fatia y=const.
    3. Marque as faces laterais: o plano y=0 (um lado) e o plano y=x (outro lado que inclina em relação ao y). O sólido fica entre esses dois planos, sobre o interior do intervalo 0\le x\le 2 e 0\le z\le 4-x^{2}.
    4. Destaque a aresta superior no plano z=0 ao longo de x=2 e 0\le y\le 2 (pois no ponto x=2, y vai de 0 até x=2).
  • Esboço da região de integração para a ordem d y\, d z\, d x:
    1. Para um x fixo (escolha um x qualquer entre 0 e 2), desenhe no plano yz um retângulo com vértices (y,z)=(0,0), (x,0), (0,4-x^{2}), (x,4-x^{2}). Esse é o retângulo \{(y,z): 0\le y\le x,\\\ 0\le z\le 4-x^{2}\}.
    2. Para ver a variação com x, desenhe a projeção no eixo x: o intervalo [0,2]. Ao variar x esse retângulo vai crescendo em y (largura x) e mudando em altura z (altura 4-x^{2}).
Força aí — já montou a integral certinha e calculou: a resposta numérica final é \dfrac{8}{3}. Boa!

Resposta

\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x^{2}}\int_{0}^{x} x\,y \; dy\, dz\, dx
\frac{8}{3}

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