Questão 4. Considere
o sólido no primeiro octante delimitado por
,
,
e
. Esboçe por separado o sólido
e em cada caso, esboçe a região de integração escolhida para calcular
na ordem:
.
Passo 1
O enunciado dá um sólido
no primeiro octante limitado por:
- a superfície superior
; - o plano inferior
; - os planos laterais
e ; - além disso estamos no primeiro octante, então
, , .
O que é pedido:
- esboçar separadamente o sólido
; - para a ordem de integração
, esboçar a região de integração escolhida e montar a integral ; - (implícito) calcular a integral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A face superior depende apenas de
: . Intersecção com dá (no primeiro octante usamos , pois ). - As faces em
são e , ou seja, para cada fixo, varia de até . - Portanto o intervalo de
será .
Passo 2
Entender a geometria e as projeções (como fazer o esboço do sólido).
- A superfície
é um cilindro parabólico (paraboloide “unidirecional”): em qualquer plano paralelo ao plano (isto é, cortando a superfície por uma reta de constante ) aparece a parábola que abre para baixo, com vértice em . Como não há na equação, essa parábola se estende ao longo de toda a direção : é uma superfície que é a mesma curva em qualquer “fatia” de — podemos pensar numa “curtina parabólica” ao longo do eixo . - Em
temos o plano do chão; a interseção com é a linha . No primeiro octante tomamos a linha . - As restrições
e limitam o sólido na direção . No plano essas duas retas delimitam um triângulo retângulo com vértices , e (observe que o corte combinado com dá o ponto ). - Esboço do sólido (como desenhar):
- Desenhar o eixo
para a direita, saindo para cima da página e vertical para cima. - Desenhar a parábola
no plano (plano ): vértice em , cruza em . - Estender essa parábola ao longo da direção
(até ) formando uma “tampa” parabólica que se reduz até a borda em . - Cortar o sólido entre
e : isso cria uma cunha (wedge) cuja secção em um fixo é um segmento em de a , e em é de até .
- Desenhar o eixo
Passo 3
Escolher os limites para a ordem
(aqui explico cuidadosamente por que cada limite é esse).
- Ordem de integração: primeiro integrar em
(para fixo entre limites dependentes de ou só de ), depois , depois . - Observação sobre dependência: as superfícies que limitam
são e . Note que estes não dependem de . Portanto, para um fixo e qualquer entre 0 e , o varia sempre do mesmo modo: de até . Logo os limites internos (para ) serão . - Para
: o sólido está entre e . Esses limites não dependem de . Como estamos integrando antes de , o limite médio (para ) é . - Para
: como observado, a região projetada em vai de até (ponto onde a tampa parabólica cruza o plano ). Logo .
Portanto a integral tripla na ordem pedida é
Geometricamente, para cada valor fixo de
:
- a região de integração no plano
é um retângulo com (horizontal) e (vertical). Esse retângulo varia de tamanho conforme muda (a largura em é , a altura em é ). - A projeção do sólido no eixo
é o intervalo .
Passo 4
Calcular a integral passo a passo (mostrando todos os detalhes das contas, do jeito que se faz na prova sem pular etapas).
Escrevemos novamente a integral:
- Integrar em
( e tratam-se como constantes quando integramos em ):
Expliquei: fez-se fator comum
, integrou-se
obtendo
, avaliado de
a
.
- Agora integrar em
:
Aqui
é constante na integração em
, então o resultado é multiplicar por o comprimento em
.
- Finalmente integrar em
de a :
Calculemos as primitivas:
Avaliar de
a
:
Portanto
Assim o valor da integral é
.
Passo 5
Resumo do que desenhar (orientações de esboço passo a passo, para você desenhar rápido na prova):
-
Esboço do sólido
: - No plano
(isto é, corte ), desenhe a parábola com vértice em e cruzando em . Marque também o ponto . - Estenda essa parábola ao longo da direção positiva
até a reta . Assim o “teto” é uma superfície que não varia com e que tem a forma da parábola em cada fatia const. - Marque as faces laterais: o plano
(um lado) e o plano (outro lado que inclina em relação ao ). O sólido fica entre esses dois planos, sobre o interior do intervalo e . - Destaque a aresta superior no plano
ao longo de e (pois no ponto , vai de até ).
- No plano
-
Esboço da região de integração para a ordem
: - Para um
fixo (escolha um qualquer entre 0 e 2), desenhe no plano um retângulo com vértices , , , . Esse é o retângulo . - Para ver a variação com
, desenhe a projeção no eixo : o intervalo . Ao variar esse retângulo vai crescendo em (largura ) e mudando em altura (altura ).
- Para um
Força aí — já montou a integral certinha e calculou: a resposta numérica final é
. Boa!