Mostre que as integrais dadas representam as funções indicadas. Sugestão. Use (5), (11) ou (13); a integral lhe informará qual equação usar e seu valor dirá qual função considerar. (Mostre os detalhes do que fizer.)
\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} \pi w \operatorname{sen} x w}{1-w^{2}} d w=\left{ \begin{array}{ccr} \frac{\pi}{2} \operatorname{sen} x & \text { se } & 0 \leqq x \leqq \pi \\ 0 & \text { se } & x>\pi\end{array}\right.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais são as informações dadas.
  • O enunciado nos dá a integral dependente de x\) \[F(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(\pi w)\,\operatorname{sen}(x w)}{1-w^{2}}\,dw,
e pede que mostremos que essa integral representa a função
F(x)=\begin{cases} \dfrac{\pi}{2}\operatorname{sen} x, & 0\leqq x\leqq \pi,\\[6pt] 0, & x>\pi. \end{cases}
  • Não há outras informações externas; a sugestão do enunciado (usar (5), (11) ou (13)) indica o uso de identidades/integralizações conhecidas (transformadas de Fourier/lemmas de Jordan/Abel, etc.). Vou fazer uma solução autônoma que usa noções de diferenciação sob o sinal de integral, um argumento que transforma o problema numa equação diferencial para F(x)\], e calcular as constantes avaliando derivadas em \(x=0; para fechar o caso x>\pi uso um argumento de oscilação/limite (lemmas de Riemann–Lebesgue / Abel) para forçar a solução a ser zero.
  • O que precisamos mostrar passo a passo: (i) que dá para diferenciar sob o integrando e obter uma EDO satisfeita por F fora de x=\pi; (ii) resolver essa EDO em cada intervalo; (iii) determinar as constantes usando valores em x=0 (calcular F'(0)); (iv) justificar que para x>\pi a solução é nula.
A partir daqui começo a resolver.]

Passo 2

Definição e regularidade de F. Primeiro verifico que a integral define uma função bem comportada de x.
A função integrando é
g(w,x)=\frac{\operatorname{sen}(\pi w)\,\operatorname{sen}(x w)}{1-w^{2}}.
Observações importantes (muito úteis depois):
  • Para w próximo de 1 (ou -1) o denominador 1-w^{2} tem zero simples, mas \operatorname{sen}(\pi w) tem zero em w= \pm 1 também, porque \operatorname{sen}(\pi\cdot 1)=0. Portanto o possível pólo em w=\pm1 é removível: o integrando é finito e contínuo perto de w=\pm1. Isso evita problemas de valor principal; a integral impropria em w é propriamente convergente.
  • Para w\to\infty temos |\operatorname{sen}(\pi w)\operatorname{sen}(xw)|\le 1 e o denominador cresce como w^{2}, logo o integrando é O(1/w^{2}). Assim a integral em w converge absolutamente no infinito. Portanto F(x) está bem definida para todo x\ge 0.
  • Como o integrando é suave em x (quando w fixo é uma função suave de x) e dominado por uma função integrável em w, podemos diferenciar sob o sinal integral arbitrárias vezes (teorema da diferenciação sob o sinal integral / teorema de Leibniz com controle por dominância). Logo F é C^{\infty} em x e as derivadas podem ser obtidas derivando o integrando.
Vou usar essa possibilidade de diferenciar sob o integral nas próximas etapas.

Passo 3

Derivando e obtendo uma equação diferencial para F.
Calculo \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}F(x) derivando duas vezes sob o sinal integral:
F''(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(\pi w)\,\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}\operatorname{sen}(xw)}{1-w^{2}}\,dw.
Como \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}\operatorname{sen}(xw) = -w^{2}\operatorname{sen}(xw), segue
F''(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(\pi w)\,(-w^{2})\operatorname{sen}(xw)}{1-w^{2}}\,dw.
Agora somo F(x) aos dois lados (colocando no mesmo integrando):
F''(x)+F(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(\pi w)\,\bigl(-w^{2}+1\bigr)\operatorname{sen}(xw)}{1-w^{2}}\,dw.
Observe que -w^{2}+1=1-w^{2}, então o fator (1-w^{2}) cancela com o denominador, dando
\boxed{F''(x)+F(x)=\int_{0}^{\infty}\operatorname{sen}(\pi w)\,\operatorname{sen}(xw)\,dw.}
Portanto, para conseguir uma EDO simples precisamos entender a integral
K(x):=\int_{0}^{\infty}\operatorname{sen}(\pi w)\,\operatorname{sen}(xw)\,dw.

Passo 4

Avaliação do termo K(x) (o lado direito). Vou mostrar que K(x)=0 para todo x\neq \pi e que a única singularidade no comportamento aparece em x=\pi (no sentido de distribuição). Para isso uso uma regularização tipo Abel (apagar ligeiramente altas frequências) que é uma técnica padrão para integrais oscilantes.
Escrevo
K_{\varepsilon}(x):=\int_{0}^{\infty}e^{-\varepsilon w}\operatorname{sen}(\pi w)\,\operatorname{sen}(xw)\,dw,\qquad \varepsilon>0.
Para \varepsilon>0 a integral é absolutamente convergente e pode ser avaliada via identidades trigonométricas. Usando \operatorname{sen} a\operatorname{sen} b=\tfrac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)] obtemos
K_{\varepsilon}(x)=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-\varepsilon w}\bigl[\cos((\pi-x)w)-\cos((\pi+x)w)\bigr]\,dw.
As integrais exponencialmente amortecidas são elementares:
\int_{0}^{\infty}e^{-\varepsilon w}\cos(\kappa w)\,dw=\Re\int_{0}^{\infty}e^{-(\varepsilon-i\kappa)w}\,dw =\Re\frac{1}{\varepsilon-i\kappa}=\frac{\varepsilon}{\varepsilon^{2}+\kappa^{2}}.
Assim
K_{\varepsilon}(x)=\tfrac{1}{2}\left(\frac{\varepsilon}{\varepsilon^{2}+(\pi-x)^{2}}-\frac{\varepsilon}{\varepsilon^{2}+(\pi+x)^{2}}\right).
Agora tomo o limite \varepsilon\to 0^{+} (isso é a regularização de Abel; é a forma padrão de dar sentido a integrais oscilantes). Para x\neq \pi temos (\pi-x)\neq 0 e (\pi+x)\neq 0, portanto cada termo tende a 0 quando \varepsilon\to 0^{+}. Logo, para x\neq \pi,
\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}K_{\varepsilon}(x)=0.
Pela propriedade de regularização (que coincide com o valor da integral oscilante quando esta é entendida no sentido de Abel), inferimos que
\boxed{K(x)=\int_{0}^{\infty}\operatorname{sen}(\pi w)\operatorname{sen}(xw)\,dw = 0\quad\text{para }x\neq\pi.}
Portanto, para todo x\neq\pi obtemos da conta do passo anterior:
\boxed{F''(x)+F(x)=0,\quad x\neq\pi.}
Isto é: F satisfaz a EDO linear de segunda ordem homogênea F''+F=0 em cada intervalo que não contenha x=\pi. Em particular, em [0,\pi) e em (\pi,\infty) cada solução tem a forma A\operatorname{sen} x + B\cos x (com constantes que podem ser diferentes em cada intervalo).

Passo 5

Determinação das constantes no intervalo [0,\pi]: condições em x=0.
  1. Valor de F(0). Pela definição
F(0)=\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(\pi w)\,\operatorname{sen}(0\cdot w)}{1-w^{2}}\,dw= \int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(\pi w)\cdot 0}{1-w^{2}}\,dw=0.
Se em [0,\pi] F(x)=A\operatorname{sen} x + B\cos x, então F(0)=B=0. Logo em [0,\pi] temos
F(x)=A\operatorname{sen} x.
  1. Determinar A através de F'(0). Calculo F'(x) por diferenciação sob o integral:
F'(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(\pi w)\,w\cos(xw)}{1-w^{2}}\,dw.
Logo
F'(0)=\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(\pi w)\,w}{1-w^{2}}\,dw.
Quero avaliar essa integral. Faço a mesma extensão par/ímpar que usamos antes: a função
h(w):=\frac{w\operatorname{sen}(\pi w)}{1-w^{2}}
é uma função par (produto de duas funções ímpares w e \operatorname{sen}(\pi w) dividido por função par 1-w^{2}), logo
F'(0)=\tfrac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{w\operatorname{sen}(\pi w)}{1-w^{2}}\,dw.
Agora uso um truque muito útil: considere a família de integrais (regularizadas)
T(k):=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(k w)}{1-w^{2}}\,dw,
no sentido de valor principal. Uma conta padrão por frações parciais e aplicação da fórmula
\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ik w}}{w-a}\,dw = i\pi e^{ika}\quad(k>0)
leva à identidade (passível de verificação direta; escrevo o resultado usado)
\boxed{T(k)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(k w)}{1-w^{2}}\,dw=\pi\operatorname{sen} k,\quad \text{para todo }k\in\mathbb{R}.}
Agora diferenciando T(k) em relação a k (dentro do integral, o que é permitido na regularização) obtemos
T'(k)=-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{w\operatorname{sen}(k w)}{1-w^{2}}\,dw.
Mas pelo resultado anterior T(k)=\pi\operatorname{sen} k, então T'(k)=\pi\cos k. Assim
-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{w\operatorname{sen}(k w)}{1-w^{2}}\,dw=\pi\cos k,
ou seja
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{w\operatorname{sen}(k w)}{1-w^{2}}\,dw=-\pi\cos k.
Escolhendo k=\pi (que é o caso que aparece em F'(0)) obtemos
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{w\operatorname{sen}(\pi w)}{1-w^{2}}\,dw=-\pi\cos\pi=-\pi(-1)=\pi.
Portanto
F'(0)=\tfrac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{w\operatorname{sen}(\pi w)}{1-w^{2}}\,dw=\tfrac{1}{2}\cdot\pi=\frac{\pi}{2}.
Como em [0,\pi] temos F(x)=A\operatorname{sen} x, então F'(x)=A\cos x e em x=0 isso dá F'(0)=A. Assim A=\dfrac{\pi}{2}. Concluímos que, para 0\le x\le\pi,
\boxed{F(x)=\frac{\pi}{2}\operatorname{sen} x.}
(Vale notar: toda a avaliação de F'(0) foi feita com integrais regularizados e diferenciação sob o sinal integral — técnicas padrão em transformadas; eu apresentei os passos essenciais e a identidade usada para T(k), que é a identidade de Fourier/PV já mencionada.)

Passo 6

Comportamento para x>\pi. Agora tratamos o intervalo (\pi,\infty).
Já vimos que para x\neq\pi vale F''+F=0. Então em (\pi,\infty) existe constantes C,D tais que
F(x)=C\operatorname{sen} x + D\cos x,\qquad x>\pi.
Preciso determinar C e D. Uma propriedade útil é o comportamento de F(x) quando x\to\infty. Para cada w fixo, \operatorname{sen}(xw) oscila cada vez mais rápido quando x\to\infty; como o integrando é integrável em w, pelo lema de Riemann–Lebesgue (ou por regularização de Abel), tem-se
\lim_{x\to\infty}F(x)=0.
Mas uma combinação C\operatorname{sen} x + D\cos x não tem limite quando x\to\infty salvo o caso trivial C=D=0. Portanto necessariamente C=D=0. Assim em (\pi,\infty) deve valer
\boxed{F(x)=0.}

Passo 7

Continuidade em x=\pi e conclusão final.
Podemos verificar (opcionalmente) que a fórmula encontrada em [0,\pi], que dá F(\pi)=\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sen}\pi=0, coincide com o valor em (\pi,\infty) que é 0. Assim F é contínua em x=\pi e a descrição por partes é consistente.
Reunindo tudo:
  • Para 0\le x\le\pi temos F(x)=\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sen} x.
  • Para x>\pi temos F(x)=0.
Isto é exatamente o enunciado que precisava ser demonstrado.

Resposta

\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(\pi w)\,\operatorname{sen}(x w)}{1-w^{2}}\,dw= \begin{cases} \dfrac{\pi}{2}\operatorname{sen} x, & 0\leqq x\leqq \pi,\\[6pt] 0, & x>\pi. \end{cases}]

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