Mostre que as integrais dadas representam as funções indicadas. Sugestão. Use (5), (11) ou (13); a integral lhe informará qual equação usar e seu valor dirá qual função considerar. (Mostre os detalhes do que fizer.)
\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} \pi w \operatorname{sen} x w}{1-w^{2}} d w=\left{\begin{array}{ccr}
\frac{\pi}{2} \operatorname{sen} x & \text { se } & 0 \leqq x \leqq \pi \\
0 & \text { se } & x>\pi\end{array}\right.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais são as informações dadas.
O enunciado nos dá a integral dependente de x\)
\[F(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(\pi w)\,\operatorname{sen}(x w)}{1-w^{2}}\,dw,
e pede que mostremos que essa integral representa a função
Não há outras informações externas; a sugestão do enunciado (usar (5), (11) ou (13)) indica o uso de identidades/integralizações conhecidas (transformadas de Fourier/lemmas de Jordan/Abel, etc.). Vou fazer uma solução autônoma que usa noções de diferenciação sob o sinal de integral, um argumento que transforma o problema numa equação diferencial para F(x)\], e calcular as constantes avaliando derivadas em \(x=0; para fechar o caso x>\pi uso um argumento de oscilação/limite (lemmas de Riemann–Lebesgue / Abel) para forçar a solução a ser zero.
O que precisamos mostrar passo a passo: (i) que dá para diferenciar sob o integrando e obter uma EDO satisfeita por F fora de x=\pi; (ii) resolver essa EDO em cada intervalo; (iii) determinar as constantes usando valores em x=0 (calcular F'(0)); (iv) justificar que para x>\pi a solução é nula.
A partir daqui começo a resolver.]
Passo 2
Definição e regularidade de F. Primeiro verifico que a integral define uma função bem comportada de x.
Para w próximo de 1 (ou -1) o denominador 1-w^{2} tem zero simples, mas \operatorname{sen}(\pi w) tem zero em w= \pm 1 também, porque \operatorname{sen}(\pi\cdot 1)=0. Portanto o possível pólo em w=\pm1 é removível: o integrando é finito e contínuo perto de w=\pm1. Isso evita problemas de valor principal; a integral impropria em w é propriamente convergente.
Para w\to\infty temos |\operatorname{sen}(\pi w)\operatorname{sen}(xw)|\le 1 e o denominador cresce como w^{2}, logo o integrando é O(1/w^{2}). Assim a integral em w converge absolutamente no infinito. Portanto F(x) está bem definida para todo x\ge 0.
Como o integrando é suave em x (quando w fixo é uma função suave de x) e dominado por uma função integrável em w, podemos diferenciar sob o sinal integral arbitrárias vezes (teorema da diferenciação sob o sinal integral / teorema de Leibniz com controle por dominância). Logo F é C^{\infty} em x e as derivadas podem ser obtidas derivando o integrando.
Vou usar essa possibilidade de diferenciar sob o integral nas próximas etapas.
Passo 3
Derivando e obtendo uma equação diferencial para F.
Calculo \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}F(x) derivando duas vezes sob o sinal integral:
Avaliação do termo K(x) (o lado direito). Vou mostrar que K(x)=0 para todo x\neq \pi e que a única singularidade no comportamento aparece em x=\pi (no sentido de distribuição). Para isso uso uma regularização tipo Abel (apagar ligeiramente altas frequências) que é uma técnica padrão para integrais oscilantes.
Para \varepsilon>0 a integral é absolutamente convergente e pode ser avaliada via identidades trigonométricas. Usando \operatorname{sen} a\operatorname{sen} b=\tfrac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)] obtemos
Agora tomo o limite \varepsilon\to 0^{+} (isso é a regularização de Abel; é a forma padrão de dar sentido a integrais oscilantes). Para x\neq \pi temos (\pi-x)\neq 0 e (\pi+x)\neq 0, portanto cada termo tende a 0 quando \varepsilon\to 0^{+}. Logo, para x\neq \pi,
\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}K_{\varepsilon}(x)=0.
Pela propriedade de regularização (que coincide com o valor da integral oscilante quando esta é entendida no sentido de Abel), inferimos que
Portanto, para todo x\neq\pi obtemos da conta do passo anterior:
\boxed{F''(x)+F(x)=0,\quad x\neq\pi.}
Isto é: F satisfaz a EDO linear de segunda ordem homogênea F''+F=0 em cada intervalo que não contenha x=\pi. Em particular, em [0,\pi) e em (\pi,\infty) cada solução tem a forma A\operatorname{sen} x + B\cos x (com constantes que podem ser diferentes em cada intervalo).
Passo 5
Determinação das constantes no intervalo [0,\pi]: condições em x=0.
Como em [0,\pi] temos F(x)=A\operatorname{sen} x, então F'(x)=A\cos x e em x=0 isso dá F'(0)=A. Assim A=\dfrac{\pi}{2}. Concluímos que, para 0\le x\le\pi,
\boxed{F(x)=\frac{\pi}{2}\operatorname{sen} x.}
(Vale notar: toda a avaliação de F'(0) foi feita com integrais regularizados e diferenciação sob o sinal integral — técnicas padrão em transformadas; eu apresentei os passos essenciais e a identidade usada para T(k), que é a identidade de Fourier/PV já mencionada.)
Passo 6
Comportamento para x>\pi. Agora tratamos o intervalo (\pi,\infty).
Já vimos que para x\neq\pi vale F''+F=0. Então em (\pi,\infty) existe constantes C,D tais que
F(x)=C\operatorname{sen} x + D\cos x,\qquad x>\pi.
Preciso determinar C e D. Uma propriedade útil é o comportamento de F(x) quando x\to\infty. Para cada w fixo, \operatorname{sen}(xw) oscila cada vez mais rápido quando x\to\infty; como o integrando é integrável em w, pelo lema de Riemann–Lebesgue (ou por regularização de Abel), tem-se
\lim_{x\to\infty}F(x)=0.
Mas uma combinação C\operatorname{sen} x + D\cos x não tem limite quando x\to\infty salvo o caso trivial C=D=0. Portanto necessariamente C=D=0. Assim em (\pi,\infty) deve valer
\boxed{F(x)=0.}
Passo 7
Continuidade em x=\pi e conclusão final.
Podemos verificar (opcionalmente) que a fórmula encontrada em [0,\pi], que dá F(\pi)=\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sen}\pi=0, coincide com o valor em (\pi,\infty) que é 0. Assim F é contínua em x=\pi e a descrição por partes é consistente.
Reunindo tudo:
Para 0\le x\le\pi temos F(x)=\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sen} x.
Para x>\pi temos F(x)=0.
Isto é exatamente o enunciado que precisava ser demonstrado.