Questão 5 Considere a transformação linear T: R^3 M2(R) dada por
/ 2 p.
T(x, y, z)=[cc x+y & x-z y+z & 0 ]
(a) Encontre uma base para Nuc(T) e calcule a sua dimensão.
(b) Encontre uma base para Im(T) e calcule a sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to M2(R), T(x,y,z)=x+y & x-z [6pt] y+z & 0,
e pede (a) uma base e a dimensão de Nuc(T) e (b) uma base e a dimensão de Im(T).
Para isso vamos resolver o sistema que anula T(x,y,z) e, em seguida, encontrar matrizes geradoras de Im(T).]

Passo 2

Para achar Nuc(T) impomos
T(x,y,z)=0Longrightarrow x+y=0, x-z=0, y+z=0,
pois o último elemento da matriz já é sempre zero.

Passo 3

Das equações obtemos
y=-x, z=x,
e a terceira y+z=0 é redundante. Logo todo vetor do núcleo é da forma
(x,y,z)=x,(1,-1,1)
Portanto
uma base de Nuc(T) é (1,-1,1) e
diml(Nuc(T)r)=1.

Passo 4

Para o espaço imagem calculamos T nos vetores canônicos:
T(1,0,0)=1&10&0, T(0,1,0)=1&01&0, T(0,0,1)=0&-11&0

Passo 5

Note que T(0,0,1)=T(0,1,0)-T(1,0,0), ou seja, as duas primeiras matrizes já geram toda a imagem. Como
1&10&0 e 1&01&0
são linearmente independentes, elas formam uma base de Im(T) e
diml(Im(T)r)=2.

Resposta

(a) Uma base de Nuc(T) é (1,-1,1) e dim(Nuc(T))=1.
(b) Uma base de Im(T) é
gl, 1&10&0,; 1&01&0 gr e dim(Im(T))=2

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