Questão 5 Considere a transformação linear dada por .
(a) Encontre uma base para e calcule a sua dimensão.
(b) Encontre uma base para e calcule a sua dimensão.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede (a) uma base e a dimensão de e (b) uma base e a dimensão de .
Para isso vamos resolver o sistema que anula e, em seguida, encontrar matrizes geradoras de .]
Passo 2
Para achar impomos
pois o último elemento da matriz já é sempre zero.
Passo 3
Das equações obtemos
y=-x, z=x,
e a terceira y+z=0 é redundante. Logo todo vetor do núcleo é da forma
(x,y,z)=x,(1,-1,1)
Portanto
uma base de Nuc(T) é (1,-1,1) e diml(Nuc(T)r)=1.
Passo 4
Para o espaço imagem calculamos T nos vetores canônicos: