Questão 4
Encontre a transformação linear T: R^2 R^2 tal que
T(1,1) & =(2,-2) e T(1,-1) & =(2,4)

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear Tcolon R^2toR^2 cujos valores em dois vetores são dados:
T(1,1)=(2,-2), T(1,-1)=(2,4)
O conteúdo é “transformação linear e mudança de base”: como (1,1),(1,-1) forma base de R^2, podemos obter a matriz de T na base canônica invertendo a matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Definimos
P=1&11&-1, Q=2&2-2&4,
onde as colunas de P são (1,1) e (1,-1), e as colunas de Q são T(1,1) e T(1,-1).

Passo 3

Calculamos P^-1 pela fórmula da inversa de matriz 2times2. Como det P=(1)(-1)-(1)(1)=-2, a adjunta de P é
adj(P) =-1&-1-1&1,
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P^-1=1det P,adj(P) =-tfrac12-1&-1-1&1 =tfrac12&tfrac12tfrac12&-tfrac12

Passo 4

A matriz de T na base canônica é
A = Q,P^-1 =2&2-2&4 tfrac12&tfrac12tfrac12&-tfrac12 =2&01&-3

Passo 5

Da matriz extraímos a regra de . Para ,

Resposta

A transformação é
T(x,y)=(2x,;x-3y)

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