Exercício 6: Determine um isomorfismo
entre
e justifique o motivo pelo qual
é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado pede um isomorfismo
, ou seja, uma aplicação linear bijetora entre o espaço das matrizes
e o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. Vamos usar o fato de que ambos têm dimensão 4 e escolher bases canônicas para construir
.
Passo 2
Escolhemos como base de
as matrizes
e como base de
os polinômios
Definimos
mandando cada
no polinômio correspondente:
Assim, para uma matriz genérica
temos
Passo 3
Mostramos que
é linear. Dados
e
, escrevendo cada um em combinação linear dos
, temos
pois a soma de coeficientes se reflete diretamente na soma de polinômios, e
pois o escalar pula para frente dos coeficientes. Logo,
é aplicação linear.
Passo 4
Para ver que
é bijetora basta notar que a imagem de cada base de
é a base de
. Em particular:
- Kernel: se
então todos os coeficientes são zero, logo é a matriz nula. Assim , e é injetora. - Sobrejetora: qualquer polinômio
vem de
pois
. Logo
atinge todo
.]
Resposta
Definimos
Essa aplicação é linear e bijetora, logo um isomorfismo.