Exercício 6: Determine um isomorfismo T entre M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{3}(\mathbb{R}) e justifique o motivo pelo qual T é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado pede um isomorfismo T\colon M_{2}(\mathbb{R})\to P_{3}(\mathbb{R}), ou seja, uma aplicação linear bijetora entre o espaço das matrizes 2\times2 e o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. Vamos usar o fato de que ambos têm dimensão 4 e escolher bases canônicas para construir T.

Passo 2

Escolhemos como base de M_{2}(\mathbb{R}) as matrizes
E_{11} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\\ E_{12} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\\ E_{21} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\\ E_{22} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
e como base de P_{3}(\mathbb{R}) os polinômios
1,\\ x,\\ x^2,\\ x^3.
Definimos T mandando cada E_{ij} no polinômio correspondente:
T\bigl(E_{11}\bigr) = 1,\quad T\bigl(E_{12}\bigr) = x,\quad T\bigl(E_{21}\bigr) = x^2,\quad T\bigl(E_{22}\bigr) = x^3.
Assim, para uma matriz genérica
A = \begin{pmatrix}a & b\\[6pt]c & d\end{pmatrix} = a\,E_{11} + b\,E_{12} + c\,E_{21} + d\,E_{22},
temos
T(A) = a\cdot1 \;+\; b\cdot x \;+\; c\cdot x^2 \;+\; d\cdot x^3.]

Passo 3

Mostramos que T é linear. Dados A_1,A_2\in M_{2}(\mathbb{R}) e \lambda\in\mathbb{R}, escrevendo cada um em combinação linear dos E_{ij}, temos
T(A_1 + A_2) = T(A_1) + T(A_2),
pois a soma de coeficientes se reflete diretamente na soma de polinômios, e
T(\lambda A_1) = \lambda\,T(A_1)
pois o escalar pula para frente dos coeficientes. Logo, T é aplicação linear.

Passo 4

Para ver que T é bijetora basta notar que a imagem de cada base de M_{2}(\mathbb{R}) é a base de P_{3}(\mathbb{R}). Em particular:
  • Kernel: se T(A)=0 então todos os coeficientes a,b,c,d são zero, logo A é a matriz nula. Assim \ker T=\{0\}, e T é injetora.
  • Sobrejetora: qualquer polinômio p(x)=a + b x + c x^2 + d x^3 vem de
A = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
pois T(A)=p(x). Logo T atinge todo P_{3}(\mathbb{R}).]

Resposta

Definimos
T\colon M_{2}(\mathbb{R})\to P_{3}(\mathbb{R}),\qquad T\Bigl(\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}\Bigr) = a + b\,x + c\,x^2 + d\,x^3.
Essa aplicação é linear e bijetora, logo um isomorfismo.

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