Um retângulo de 2,0 \mathrm{~cm} \times 3,0 \mathrm{~cm} situa-se no plano x y. Qual será o valor do fluxo elétrico através do retângulo se:
\vec{E}=(50 \hat{\imath}+100 \hat{k}) N / C ?

Passo 1

O enunciado pede o fluxo elétrico através de um retângulo que está no plano xy. Informações dadas:
  • Dimensões do retângulo: 2{,}0\\ \mathrm{cm}\times 3{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Campo elétrico uniforme: \vec{E}=(50\hat{\imath}+100\hat{k})\\ \mathrm{N/C}.
    Pergunta: qual é o valor do fluxo elétrico através do retângulo?

Passo 2

Conceito que vamos usar: fluxo elétrico através de uma superfície S é a integral de superfície
\Phi=\iint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}.
Explicando cada símbolo:
  • \Phi é o fluxo elétrico (unidade \mathrm{N\,m^{2}/C}).
  • \vec{E} é o campo elétrico (aqui uniforme).
  • d\vec{A} é o vetor de área elementar: magnitude dA e direção igual ao versor normal \hat{n} da superfície.
    Se \vec{E} é uniforme e a superfície é plana, a integral simplifica para o produto escalar
\Phi=\vec{E}\cdot\vec{A}=\vec{E}\cdot(\hat{n}A),
onde A é a área total e \hat{n} é o versor normal escolhido.

Passo 3

Determinar o versor normal \hat{n}: o retângulo está no plano xy, portanto a direção normal é paralela ao eixo z, isto é, \hat{n}=\pm\hat{k}. Vou adotar a escolha usual do versor normal para cima, \hat{n}=\hat{k}. Observação: se alguém escolher \hat{n}=-\hat{k}, o fluxo teria o mesmo módulo e sinal oposto.

Passo 4

Calcular a área A em unidades do SI (metros quadrados). Converter centímetros para metros:
2{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}020\\ \mathrm{m},\qquad 3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}030\\ \mathrm{m}.
Multiplicando para obter a área:
A=(0{,}020)(0{,}030)=0{,}0006\\ \mathrm{m^{2}}=6\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Calcular o produto escalar \Phi=\vec{E}\cdot(\hat{n}A). Como \hat{n}=\hat{k} e \vec{E}=(50\hat{\imath}+100\hat{k}),
o componente de \vec{E} na direção \hat{k} é 100\\ \mathrm{N/C}. Portanto
\Phi=(\vec{E}\cdot\hat{k})\,A=100\cdot\left(6\times10^{-4}\right)\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.
Fazendo a multiplicação:
\Phi=6\times10^{-2}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}=0{,}06\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.
Nota didática rápida: o componente 50\hat{\imath} do campo está paralelo ao plano do retângulo e, por isso, não contribui para o fluxo (produto escalar com o normal é zero).

Passo 6

Comentário final e incentivo: então o fluxo é simples de calcular quando o campo é uniforme e a superfície é plana — basta pegar a componente do campo na direção normal, multiplicar pela área (lembrando de usar o SI). Mandou bem em trazer o exercício; já é metade do caminho feito!

Resposta

0{,}06\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}

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